周期定常過程

周期定常過程は、時間とともに周期的に変化する統計的特性を持つ信号である。 ^{[1]周期定常過程は、複数のインターリーブされた}定常過程 として見ることができる。たとえば、ニューヨーク市の最高気温は、周期定常過程としてモデル化することができる。7月21日の最高気温は、12月20日の気温とは統計的に異なるが、異なる年の12月20日の気温は、統計的には同一であると近似するのが妥当である。したがって、毎日の最高気温で構成されるランダム過程は、それぞれが年に1回新しい値をとる、365のインターリーブされた定常過程として見ることができる。

周期定常過程の扱いには 2 つの異なるアプローチがある。^{[2]確率論的アプローチは、測定値を抽象的な}確率過程モデル のインスタンスとして見ることである。もう 1 つのより経験的なアプローチは、測定値を単一の時系列データ、つまり実際に測定され、理論の一部では、概念的に観測された有限の時間間隔から無限の間隔に拡張されたものと見なすことである。両方の数学モデルは確率論につながる。確率過程モデルの場合は抽象的な確率確率、もう 1 つのモデルの場合はより経験的な時間の割合 (FOT) 確率である。時系列に関連付けられたイベントの FOT 確率は、時系列の存続期間中にイベントが発生する時間の割合として定義される。両方のアプローチにおいて、プロセスまたは時系列は、関連する確率分布が時間とともに周期的に変化する場合にのみ、周期定常であると言われる。ただし、非確率的時系列アプローチでは、代替的ではあるが同等の定義があります。有限強度の加法正弦波成分を含まない時系列は、有限強度 (非ゼロ) の加法正弦波成分を生成する時系列の非線形時間不変変換が存在する場合にのみ、循環定常性を示すと言われます。

周期定常信号の重要な特殊なケースは、2 次統計 (自己相関関数など) で周期定常性を示す信号です。これらは広義の周期定常信号と呼ばれ、広義の定常プロセスに類似しています。正確な定義は、信号が確率プロセスとして扱われるか、決定論的時系列として扱われるかによって異なります。

平均と自己相関関数 の確率過程:${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle \operatorname {E} [x(t)]}$

${\displaystyle R_{x}(t,\tau )=\operatorname {E} \{x(t+\tau )x^{*}(t)\},\,}$

ここで星印は複素共役を表し、 と が周期 で巡回している場合、 は周期 で広義の循環定常であると言われる。すなわち、^[2]${\displaystyle T_{0}}$${\displaystyle \operatorname {E} [x(t)]}$${\displaystyle R_{x}(t,\tau )}$${\displaystyle t}$${\displaystyle T_{0},}$

${\displaystyle \operatorname {E} [x(t)]=\operatorname {E} [x(t+T_{0})]{\text{ すべての }}t について}$

${\displaystyle R_{x}(t,\tau )=R_{x}(t+T_{0};\tau ){\text{すべての }}t,\tau に対して。}$

したがって自己相関関数はtに関して周期的であり、フーリエ級数に展開することができる。

${\displaystyle R_{x}(t,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )e^{j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}t}}$

ここで、は周期的自己相関関数と呼ばれ、次の式に等しくなります。 ${\displaystyle R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )}$

${\displaystyle R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )={\frac {1}{T_{0}}}\int _{-T_{0}/2}^{T_{0}/2}R_{x}(t,\tau )e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}t}\mathrm {d} t.}$

この周波数はサイクル周波数と呼ばれます。 ${\displaystyle n/T_{0},\,n\in \mathbb {Z} ,}$

広義の定常過程は、 のみを持つ循環定常過程の特殊なケースです。 ${\displaystyle R_{x}^{0}(\tau )\neq 0}$

スペクトル成分間の周期的な関係についての洞察を提供する 信号。 と表記されるこの関数は、周期的な統計特性を示す周期定常信号の解析に役立ちます。スペクトル相関関数は、周期周波数 α で区切られた周波数間の相関を強調し、周波数領域における変調信号または構造化信号の動作を識別できるようにします。 ${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle S_{x}(f,\alpha )}$

この関数は数学的には次のように定義されます。

${\displaystyle S_{x}(f,\alpha )=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\mathbb {E} \left[X_{T}\left(f+{\frac {\alpha }{2}}\right)X_{T}^{*}\left(f-{\frac {\alpha }{2}}\right)\right]}$。

確率過程のサンプルパスではなく、単なる時間の関数である信号は、時間の割合の観点からの枠組みの中で周期定常性特性を示すことができる。このように、周期的自己相関関数は次のように定義できる。^[2]

${\displaystyle {\widehat {R}}_{x}^{n/T_{0}}(\tau )=\lim _{T\rightarrow +\infty }{\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}x(t+\tau )x^{*}(t)e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}t}\mathrm {d} t.}$

時系列が確率過程のサンプルパスである場合、それは です。信号がさらに循環エルゴードである場合、^[3]すべてのサンプルパスは確率 1 で同じ循環時間平均を示し、したがって確率 1 になります。 ${\displaystyle R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )=\operatorname {E} \left[{\widehat {R}}_{x}^{n/T_{0}}(\tau )\right]}$${\displaystyle R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )={\widehat {R}}_{x}^{n/T_{0}}(\tau )}$

周期周波数 α における周期的自己相関関数のフーリエ変換は、周期スペクトルまたはスペクトル相関密度関数と呼ばれ、次の式に等しくなります。

${\displaystyle S_{x}^{\alpha }(f)=\int _{-\infty }^{+\infty }R_{x}^{\alpha }(\tau )e^{-j2\pi f\tau }\mathrm {d} \tau .}$

ゼロ周期周波数における周期スペクトルは平均パワースペクトル密度とも呼ばれる。ガウス周期定常過程の場合、その速度歪み関数はその周期スペクトルで表すことができる。^[4]

スペクトル相関密度関数と呼ばれる理由は、フィルタ帯域幅がゼロに近づくにつれて、中心周波数を持つ片側バンドパスフィルタの出力と、中心周波数を持つもう1つの片側バンドパスフィルタの出力の共役との積の期待値の限界に等しくなるためであり、両方のフィルタ出力は、もともと観察され証明されたように、ゼロなどの共通の中心周波数に周波数シフトされています。^[5]${\displaystyle S_{x}^{\alpha }(f)}$${\displaystyle f+\alpha /2}$${\displaystyle f-\alpha /2}$

時系列の場合、巡回スペクトル密度関数がスペクトル相関密度関数と呼ばれる理由は、フィルタ帯域幅がゼロに近づくにつれて、中心周波数を持つ片側バンドパスフィルタの出力と、中心周波数を持つもう1つの片側バンドパスフィルタの出力の共役との積の全時間平均の極限に等しくなるためである。ここで、両方のフィルタ出力は、もともと^[6]で観察され証明されたように、共通の中心周波数（ゼロなど）に周波数シフトされている。${\displaystyle f+\alpha /2}$${\displaystyle f-\alpha /2}$

周期定常信号の例としては、線形変調されたデジタル信号が挙げられます 。

${\displaystyle x(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }a_{k}p(t-kT_{0})}$

ここで、はiidランダム変数です。 波形 は、フーリエ変換 により、変調をサポートするパルスになります。 ${\displaystyle a_{k}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle p(t)}$${\displaystyle P(f)}$

およびを仮定すると、自己相関関数は次のようになります。 ${\displaystyle \operatorname {E} [a_{k}]=0}$${\displaystyle \operatorname {E} [|a_{k}|^{2}]=\sigma _{a}^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{x}(t,\tau )&=\operatorname {E} [x(t+\tau )x^{*}(t)]\\[6pt]&=\sum _{k,n}\operatorname {E} [a_{k}a_{n}^{*}]p(t+\tau -kT_{0})p^{*}(t-nT_{0})\\[6pt]&=\sigma _{a}^{2}\sum _{k}p(t+\tau -kT_{0})p^{*}(t-kT_{0}).\end{aligned}}}$

最後の合計は周期的な合計なので、信号はtで周期的になります。このように、は周期と周期的自己相関関数を持つ周期定常信号です。 ${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle T_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )&={\frac {1}{T_{0}}}\int _{-T_{0}/2}^{T_{0}/2}R_{x}(t,\tau )e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}t}\,\mathrm {d} t\\[6pt]&={\frac {1}{T_{0}}}\int _{-T_{0}/2}^{T_{0}/2}\sigma _{a}^{2}\sum _{k=-\infty }^{\infty }p(t+\tau -kT_{0})p^{*}(t-kT_{0})e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}t}\mathrm {d} t\\[6pt]&={\frac {\sigma _{a}^{2}}{T_{0}}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\int _{-T_{0}/2-kT_{0}}^{T_{0}/2-kT_{0}}p(\lambda +\tau )p^{*}(\lambda )e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}(\lambda +kT_{0})}\mathrm {d} \lambda \\[6pt]&={\frac {\sigma _{a}^{2}}{T_{0}}}\int _{-\infty }^{\infty }p(\lambda +\tau )p^{*}(\lambda )e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}\lambda }\mathrm {d} \lambda \\[6pt]&={\frac {\sigma _{a}^{2}}{T_{0}}}p(\tau )*\left\{p^{*}(-\tau )e^{j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}\tau }\right\}.\end{aligned}}}$

は畳み込みを示します。巡回スペクトルは次のようになります。 ${\displaystyle *}$

${\displaystyle S_{x}^{n/T_{0}}(f)={\frac {\sigma _{a}^{2}}{T_{0}}}P(f)P^{*}\left(f-{\frac {n}{T_{0}}}\right).}$

したがって、デジタル通信で採用されている典型的なレイズドコサインパルスには、ゼロ以外の周期周波数のみが含まれます。 ${\displaystyle n=-1,0,1}$

線形変調デジタル信号の非確率的時系列モデルで期待値を無限時間平均に置き換えた場合、同じ結果が得られますが、これには元々観察され証明された数学的手法を多少修正する必要があります。^[6]

自己回帰移動平均モデルのクラスを一般化して、周期定常挙動を組み込むことは可能です。たとえば、トラウトマン^{[7]は、自己回帰係数と残差分散が一定ではなく、時間とともに周期的に変化する}自己回帰を扱いました。彼の研究は、時系列分析の分野における周期定常プロセスに関する他の多くの研究に続くものです。^{[8] [9]}

実際には、複数の不整合周期を持つ周期性を示す信号が発生し、周期定常性理論の一般化が必要になります。このような信号は、有限数の不整合周期を示す場合はポリ周期定常と呼ばれ、可算無限数を示す場合はほぼ周期定常と呼ばれます。このような信号は、異なる正弦波搬送周波数とデジタルシンボルレートによる複数の送信により、無線通信で頻繁に発生します。この理論は、^[10]で確率過程について導入され、^[6]で非確率時系列についてさらに発展しました。

^{ガードナー[6]}によって考案され開発された、周期定常性、多周期定常性、ほぼ周期定常性を示す時系列の広義の理論は、ガードナーによって、高次の時間およびスペクトルモーメントとキュムラントの理論、および厳密な意味での累積確率分布の理論に一般化されました。百科事典的な本^[11]は、これらすべてを包括的に教え、ガードナーによる最初の出版物とその後の他の人による貢献を学術的に扱っています。

• ^{周期定常性は、[12]}と[11]で徹底的に文書化されているように、基本的にすべての工学および科学分野で非常に多様な応用があります。いくつかの例は^次のとおりです。
• 周期定常性は、通信において信号同期、送信機と受信機の最適化、コグニティブ無線のスペクトルセンシングに使用されます。 ^[13]
• 信号諜報では、周期定常性は信号傍受に利用される。^[14]
• 計量経済学では、循環定常性は金融市場の周期的な行動を分析するために使用されます。
• 待ち行列理論は、周期定常理論を利用してコンピュータ ネットワークと自動車交通を分析します。
• 周期定常性は、回転機械や往復運動機械によって生成される機械信号を分析するために使用されます。

回転機械や往復運動機械によって生成される機械信号は、周期定常過程として非常にうまくモデル化されます。周期定常ファミリーは、加法型（音色成分の存在）または乗法型（周期的変調の存在）のいずれかの隠れた周期性を持つすべての信号を受け入れます。これは、ギア機構、ベアリング、内燃機関、ターボファン、ポンプ、プロペラなどによって生成されるノイズと振動の場合に当てはまります。機械信号を周期定常過程として明示的にモデル化することは、ノイズ、振動、ハーシュネス（NVH）や状態監視などのいくつかのアプリケーションで有用であることがわかっています。^[15]後者の分野では、周期定常性が、ベアリング障害の診断に使用される一般的な分析手法であるエンベロープスペクトルを一般化することがわかりました。

回転機械信号の特徴の 1 つは、プロセスの周期が特定のコンポーネントの回転角度、つまり機械の「サイクル」に厳密に関連していることです。同時に、微分時間方程式によって支配される動的現象の性質を反映するために、時間的な記述が保持される必要があります。そのため、角度と時間の自己相関関数が使用されます。

${\displaystyle R_{x}(\theta ,\tau )=\operatorname {E} \{x(t(\theta )+\tau )x^{*}(t(\theta ))\},\,}$

ここで、は角度、は角度に対応する時刻、は時間遅れを表します。角度時間自己相関関数が角度の周期成分を示すプロセス、つまり、ある角度周期 に対してフーリエ・ボーア係数がゼロでないプロセスは、（広義の）角度時間周期定常と呼ばれます。角度時間自己相関関数の二重フーリエ変換は、次数-周波数スペクトル相関を定義します。 ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle t(\theta )}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle R_{x}(\theta ;\tau )}$${\displaystyle \Theta }$

${\displaystyle S_{x}^{\alpha }(f)=\lim _{S\rightarrow +\infty }{\frac {1}{S}}\int _{-S/2}^{S/2}\int _{-\infty }^{+\infty }R_{x}(\theta ,\tau )e^{-j2\pi f\tau }e^{-j2\pi \alpha {\frac {\theta }{\Theta }}}\,\mathrm {d} \tau \,\mathrm {d} \theta }$

ここで、は次数（単位は1 回転あたりのイベント数）と周波数（単位は Hz） です。${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle f}$

回転速度が一定である場合、角度は時間 に比例します。したがって、角度と時間の自己相関は、単に周期性でスケーリングされた従来の自己相関です。つまり、サイクル周波数は でスケーリングされます。一方、回転速度が時間とともに変化する場合は、信号はもはや周期定常ではありません (速度が周期的に変化しない限り)。したがって、これは周期定常信号のモデルではありません。これは、回転速度の十分に遅い変化に対する有用な近似ではありますが、時間ワープされた周期定常性のモデルでもありません。^[16]${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \theta =\omega t}$${\displaystyle \omega }$

• ミキサー、発振器、サンプラー、ロジックのノイズ：周期定常ノイズの紹介原稿注釈付きプレゼンテーション