クラメールの分解定理

クラメールの分解定理は確率論における結果である。確率変数が$\displaystyle \xi _{1}}$そして$\displaystyle \xi _{2}}$が独立で正規分布に従うならば、それらの和も正規分布に従う。逆もまた真であることが判明した。この結果はポール・レヴィによって予見され、ハラルド・クラメールによって証明された。^{[ 1 ]}その結果、確率論に新たな方向性が生まれた。それは、確率変数を独立した項に分解する理論（確率分布の算術^{[ 2 ]}）である。

確率変数${\displaystyle \xi }$正規分布を持ち、2 つの独立した確率変数の和として表現できる。$\displaystyle \xi =\xi _{1}+\xi _{2}}$すると、ランダム変数$\displaystyle \xi _{1}}$そして$\displaystyle \xi _{2}}$それらも正規分布に従う。

この定理の証明は、整関数論に基づいている。

以下の定理は、クラメールの分解定理が成り立つ局所コンパクトアーベル群を完全に記述するものである。

定理、^{[ 3 ]}も参照。^{[ 4 ]}${\displaystyle \xi }$、$\displaystyle \xi _{1}}$、 そして$\displaystyle \xi _{2}}$は、第2の可算局所コンパクトアーベル群の値をとる確率変数である。${\displaystyle X}$仮に${\displaystyle \xi }$ガウス分布を持ち、$\displaystyle \xi _{1}}$そして$\displaystyle \xi _{2}}$それらは独立している。そして平等である。$\displaystyle \xi =\xi _{1}+\xi _{2}}$意味するところは$\displaystyle \xi _{1}}$そして$\displaystyle \xi _{2}}$グループがガウス分布を持つのは、${\displaystyle X}$円群と位相的に同型な部分群は含まれない。

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