共振器の結合係数

共振器の結合係数は、2 つの共振器の相互作用を特徴付ける無次元値です。結合係数は、共振器フィルター理論で使用されます。共振器は、電磁気的および音響的の両方である可能性があります。結合係数は、共振周波数および共振器の外部品質係数とともに、フィルターの一般化パラメーターです。フィルターの周波数応答を調整するには、これらの一般化パラメーターのみを最適化すれば十分です。

この用語は、フィルタ理論においてM Dishalによって初めて導入されました。^{[1] [非一次ソースが必要]}ある程度、これは結合インダクタの結合係数の類似物です。この用語の意味は、結合共振器とフィルタの理論の進歩とともに何度も改良されてきました。結合係数の後の定義は、以前の定義の一般化または改良です。

共振器の結合係数の以前のよく知られた定義は、G. Matthaeiらのモノグラフ[ ^2]で与えられている。これらの定義は、共振器間の結合が十分に小さいという仮定のもとで定式化されたため、近似値であることに注意されたい。2つの等しい共振器の場合の 結合係数は、次の式で定義される。${\displaystyle k}$

${\displaystyle k=|f_{o}-f_{e}|/f_{0},}$ （１）

ここで、共振器の無負荷ペアの偶数および奇数結合振動の周波数であり、式（2）で定義される結合係数は、共振周波数における共振器の相互作用を特徴付ける正の定数であることは明らかである。${\displaystyle f_{e},}$ ${\displaystyle f_{o}}$${\displaystyle f_{0}={\sqrt {f_{e}f_{o}}}.}$ ${\displaystyle f_{0}.}$

インピーダンスまたはアドミタンスインバータを両ポートに負荷した適切な等価ネットワークを、共振1ポートネットワークと、等しい共振周波数を持つ結合共振器のペアと整合させることができる場合、結合係数は次式で定義されます。 ${\displaystyle k}$

${\displaystyle k={\frac {K_{12}}{\sqrt {x_{1}x_{2}}}}}$ （２）

直列型共振器の場合、式

${\displaystyle k={\frac {J_{12}}{\sqrt {b_{1}b_{2}}}}}$ （３）

並列型共振器の場合。ここで、はインピーダンス インバータ パラメータとアドミタンス インバータ パラメータ、は共振周波数における第 1 および第 2 の共振直列型ネットワークのリアクタンス スロープ パラメータ、は第 1 および第 2 の共振並列型ネットワークのサセプタンススロープ パラメータです。 ${\displaystyle K_{12},}$ ${\displaystyle J_{12}}$${\displaystyle x_{1},}$ ${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle f_{0},}$${\displaystyle b_{1},}$ ${\displaystyle b_{2}}$

共振器が共振LC回路である場合、結合係数は（2）と（3）に従って次の値を取る。

${\displaystyle k_{L}={\frac {L_{m}}{\sqrt {L_{1}L_{2}}}}}$ （4）

誘導結合回路の場合、その値は

${\displaystyle k_{C}={\frac {C_{m}}{\sqrt {(C_{1}+C_{m})(C_{2}+C_{m})}}}.}}$ （５）

容量結合のある回路の場合。ここで、は最初の回路のインダクタンスと静電容量、は2番目の回路のインダクタンスと静電容量、は相互インダクタンスと相互静電容量です。式(4)と(5)は、電気回路の理論では古くから知られています。これらは、結合共振LC回路の誘導性結合係数と容量性結合係数の値を表しています。 ${\displaystyle L_{1},}$ ${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle L_{2},}$ ${\displaystyle C_{2}}$${\displaystyle L_{m},}$ ${\displaystyle C_{m}}$

近似式（１）の改良は^[3]で達成された。正確な式は

${\displaystyle k={\frac {f_{o}^{2}-f_{e}^{2}}{f_{o}^{2}+f_{e}^{2}}}.}$ （6）

この式を導く際に、式(4)と式(5)が使われました。現在、式(6)は広く認められています。これは、JS. Hongによる引用数の多い論文^[4]に記載されています。結合係数が負の値を持つことがわかります。${\displaystyle k}$${\displaystyle f_{o}.}$

新しい定義（6）によれば、共振LC回路の誘導結合係数の値は、以前と同様に式（4）で表されます。これは、次の場合には正の値を持ち、次の場合には負の値を持ちます。${\displaystyle k_{L}}$${\displaystyle L_{m}>0}$${\displaystyle L_{m}$

一方、共振LC回路の容量結合係数の値は常に負である。（6）に従って、共振回路の容量結合係数の式（5）は異なる形をとる。 ${\displaystyle k_{C}}$

${\displaystyle k_{C}={\frac {-C_{m}}{\sqrt {(C_{1}+C_{m})(C_{2}+C_{m})}}}.}}$ （７）

電磁共振器間の結合は、磁場または電場の両方によって実現される。磁場による結合は誘導結合係数によって特徴付けられ、電場による結合は容量結合係数によって特徴付けられる。通常、およびの絶対値は、共振器間の距離が増加すると単調に減少する。それらの減少率は異なる場合があります。ただし、それらの合計の絶対値は、距離範囲全体にわたって減少することも、特定の距離範囲で増加することもあります。^[5]${\displaystyle k_{L}}$${\displaystyle k_{C}.}$${\displaystyle k_{L}}$${\displaystyle k_{C}}$

誘導結合係数と容量結合係数の合計は式^{[3]で計算される。}

${\displaystyle k={\frac {k_{L}+k_{C}}{1+k_{L}k_{C}}}.}}$ （８）

この式は定義(6)と式(4)および式(7)から導かれる。

結合係数自体の符号は重要ではないことに注意してください。すべての結合係数の符号が同時に切り替わっても、フィルタの周波数応答は変化しません。ただし、2 つの結合係数の照合中、特に誘導性結合係数と容量性結合係数の合計中は、符号が重要になります。 ${\displaystyle k}$

結合された 2 つの共振器は、共振周波数以外でも相互作用する可能性があります。これは、強制振動のエネルギーを一方の共振器からもう一方の共振器に伝達する能力によってサポートされます。したがって、共振器の相互作用を、共振の次数である定数のセットではなく、強制振動周波数の連続関数によって特徴付ける方が正確です。 ${\displaystyle k(f)}$${\displaystyle k_{p}}$${\displaystyle p}$

関数が条件を満たさなければならない ことは明らかである${\displaystyle k(f)}$

${\displaystyle k(f)|_{f=f_{p}}=k_{p}.}$ （9）

さらに、この関数は、ある共振器から別の共振器への高周波電力の伝達が存在しない 周波数ではゼロになる必要があり、つまり2番目の条件を満たす必要がある。${\displaystyle k(f)}$${\displaystyle f_{z}}$

${\displaystyle k(f)|_{f=f_{z}}=0.}$ （10）

伝送零点は、特に誘導性・容量性結合が混在する共振回路において、次の式で表されるときに発生する。その周波数は^[6]式で表される。${\displaystyle L_{m}>0.}$${\displaystyle k(f)}$

${\displaystyle f_{z}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {L_{m}}{(L_{1}L_{2}-L_{m}^{2})C_{m}}}}}$（11）

式(6)を一般化し、条件(9)と(10)を満たす関数の定義は、エネルギーベースのアプローチで述べられている。 ^[6]この関数は、周波数依存の誘導性および容量性結合係数を介して式(8)で表され、式で定義される。 ${\displaystyle k(f)}$${\displaystyle k_{L}(f)}$${\displaystyle k_{C}(f)}$

${\displaystyle k_{L}(f)={\frac {{\dot {W}}_{12L}(f)}{\sqrt {[{\bar {W}}_{11L}(f)+{\bar {W}}_{11C}(f)][{\bar {W}}_{22L}(f)+{\bar {W}}_{22C}(f)]}}},}$ （12）

${\displaystyle k_{C}(f)={\frac {{\dot {W}}_{12C}(f)}{\sqrt {[{\bar {W}}_{11L}(f)+{\bar {W}}_{11C}(f)][{\bar {W}}_{22L}(f)+{\bar {W}}_{22C}(f)]}}}.}$ （13）

ここで、 は両方の共振器によって保存される高周波電磁場のエネルギーを表します。 上のバーは高周波エネルギーの静的成分を表し、ドットは高周波エネルギーの振動成分の振幅を表します。 下付き文字は高周波エネルギーの磁気部分を表し、下付き文字は高周波エネルギーの電気部分を表します。 下付き文字 11、12、および 22 は、 および に比例する保存エネルギーの部分を表します。ここで、は最初の共振器ポートでの高周波電圧の複素振幅であり、 は2 番目の共振器ポートでの電圧の複素振幅です。 ${\displaystyle W}$${\displaystyle W}$${\displaystyle L}$${\displaystyle C}$${\displaystyle |U_{1}|^{2},}$ ${\displaystyle |U_{1}||U_{2}|}$${\displaystyle |U_{2}|^{2}}$${\displaystyle U_{1}}$${\displaystyle U_{2}}$

（１２）と（１３）から得られる結合共振回路のペアの周波数依存誘導性および容量性結合の明示的な関数は、次の形式を持つ^[6] （１４）${\displaystyle k_{L}(f)={\frac {L_{m}}{\sqrt {L_{1}L_{2}}}}{\frac {2}{\sqrt {(1+f_{1}^{-2}f^{2})(1+f_{2}^{-2}f^{2})}}},}$

${\displaystyle k_{C}(f)={\frac {-C_{m}}{\sqrt {(C_{1}+C_{m})(C_{2}+C_{m})}}}{\frac {2}{\sqrt {(1+f_{1}^{2}f^{-2})(1+f_{2}^{2}f^{-2})}}}}$ （15）

ここで、結合によって乱された第1および第2の回路の共振周波数である。これらの関数の値は定数と一致し、式(14)および(15)で定義されることがわかる。さらに、式(8)、(14)および(15)で計算された関数は、式(11)で定義される ときにゼロになる。${\displaystyle f_{1},}$ ${\displaystyle f_{2}}$${\displaystyle f=f_{1}=f_{2}}$${\displaystyle k_{L}}$${\displaystyle k_{C}}$${\displaystyle k(f)}$${\displaystyle f_{z}}$

チェビシェフ周波数応答を持つマイクロ波狭帯域バンドパスフィルタの理論はモノグラフで述べられています。^[2]これらのフィルタでは、すべての共振器の共振周波数が通過帯域の中心周波数に調整されています。各共振器は最大 2 つの隣接共振器と結合されています。2 つのエッジ共振器のそれぞれは、1 つの隣接共振器と 2 つのフィルタポートのうちの 1 つと結合されています。このような共振器結合のトポロジーはインライン結合と呼ばれます。インライン結合トポロジーのフィルタでは、入力ポートから出力ポートへのマイクロ波電力伝送パスは 1 つだけです。 ${\displaystyle f_{0}.}$

指定されたフィルタ周波数応答を満たすインライン結合トポロジーのフィルタにおける隣接共振器の結合係数の値の近似式の導出は、で与えられている。 ^[2]ここで、およびは、フィルタ内の結合共振器の順序番号である。式は、ローパスプロトタイプフィルタと式(2)および(3)を使用して導出された。ローパスプロトタイプフィルタの周波数応答は、第1種チェビシェフ関数によって特徴付けられる。式は、で初めて発表された。^[7]これらは、 ${\displaystyle k_{i,i+1}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i+1}$

${\displaystyle k_{i,i+1}={\frac {f_{2}-f_{1}}{\sqrt {f_{1}f_{2}g_{i}g_{i+1}}}},}$ （16）

ここで、は正規化されたプロトタイプ要素の値、は共振器の数に等しいチェビシェフ関数の次数、はバンドエッジ周波数です。 ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle (i=0,1,2...n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f_{1},}$ ${\displaystyle f_{2}}$

フィルタの指定されたバンドパスの プロトタイプ要素値は、次の式で計算されます。${\displaystyle g_{i}}$

${\displaystyle g_{0}=1,}$ ${\displaystyle g_{1}=2a_{1}/\gamma ,}$

${\displaystyle g_{i}={\frac {4a_{i-1}a_{i}}{b_{i-1}g_{i-1}}},(i=2,3,...n),}$ （17）

${\displaystyle g_{n+1}=1,}$偶数の 場合、${\displaystyle n}$

${\displaystyle g_{n+1}=\mathrm {coth} ^{2}(\beta /4),}$が奇数の場合。 ${\displaystyle n}$

ここでは次の表記が使われた

${\displaystyle \beta =2\mathrm {artanh} {\sqrt {10^{-\Delta L/10}}},}$ ${\displaystyle \gamma =\mathrm {sh} ({\frac {\beta }{2n}}),}$ （18）

${\displaystyle a_{i}=\mathrm {sin} {\frac {(2i-1)\pi }{2n}},}$ ${\displaystyle b_{i}=\gamma ^{2}+\mathrm {sin} ^{2}({\frac {i\pi }{n}}),(i=1,2,...n),}$

ここで、必要な通過帯域リップルは dB 単位です。 ${\displaystyle \Delta L}$

式(16)は、結合係数の近似定義(2)と(3)が使用されているためだけでなく、近似値である。プロトタイプフィルタの結合係数の正確な表現は^[8]で得られている。しかし、実際のフィルタの設計では、以前の式と改良された式の両方が近似値のままである。精度はフィルタ構造と共振器構造の両方に依存する。比帯域幅が狭くなると精度は向上する。

式(16)とその改良版の不正確さは、共振器やフィルタの構造によって大きく異なる結合係数の周波数分散によって引き起こされます。^[9]言い換えれば、周波数における結合係数の最適値は、必要な通過帯域の仕様と導関数の値の両方に依存します。つまり、必要な通過帯域を保証する係数の正確な値は事前に知ることができません。それらはフィルタの最適化後にのみ確立できます。したがって、式(16)は、フィルタの最適化の前に結合係数の初期値を決定するために使用できます。 ${\displaystyle k_{i,i+1}}$${\displaystyle f_{0}}$${\displaystyle dk_{i,i+1}/df|_{f=f_{0}}.}$${\displaystyle k_{i,i+1}}$

近似式（16）により、インライン結合トポロジーのフィルタに関するいくつかの普遍的な規則性も確認できる。例えば、現在のフィルタの通過帯域を広げるには、すべての結合係数をほぼ比例して増加させる必要がある。入力ポートと出力ポートの伝送線路の特性インピーダンスが等しくないフィルタでも、係数は中央の共振器または中央の共振器ペアに対して対称である。係数の値は、外部の共振器ペアから中央の共振器ペアに移動するにつれて単調に減少する。 ${\displaystyle k_{i,i+1}.}$${\displaystyle k_{i,i+1}}$${\displaystyle k_{i,i+1}}$

プロトタイプとは対照的に、インライン結合トポロジーを備えた実際のマイクロ波フィルタは、阻止帯域に透過ゼロを持つ場合があります。^[10]透過ゼロにより、フィルタの選択性が大幅に向上します。ゼロが発生する理由の1つは、1つまたは複数の共振器ペアの結合係数の周波数分散であり、透過ゼロの周波数で消失します。^[11]${\displaystyle k_{i,i+1}}$

フィルタの選択性を向上させる目的でストップバンドに伝送ゼロを生成するために、フィルタでは、最も近いカップリングに加えて、いくつかの追加のカップリングが作成されることがよくあります。これらはクロス カップリングと呼ばれます。これらのカップリングは、入力ポートから出力ポートへの複数の波のパスの基礎となります。異なるパスを介して伝送された波の振幅は、出力ポートで合計されるときに、いくつかの別々の周波数で補正される場合があります。このような補正により、伝送ゼロが生成されます。

クロスカップリングを持つフィルタでは、次元 のカップリング行列を使用して、すべてのフィルタカップリング全体を特徴付けると便利です。^{[4] [12]}これは対称的です。すべての非対角要素は、 i番目とj番目の共振器のカップリング係数です。すべての対角要素は、 i番目の共振器の正規化されたサセプタンスです。調整されたフィルタのすべての対角要素は、共振周波数でサセプタンスが消えるため、ゼロに等しくなります。 ${\displaystyle \mathbf {M} }$${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle M_{ij}}$${\displaystyle k_{ij}.}$${\displaystyle M_{ii}}$${\displaystyle M_{ii}}$

この行列の重要な利点は、誘導結合共振回路を持つ等価ネットワークの周波数応答を直接計算できることです。^{[4] [12]}したがって、クロスカップルドフィルタを設計するときにこの行列を使用すると便利です。特に、結合行列はフィルタの粗いモデルとして使用されます。^{[13]粗いモデルを使用すると、実際のフィルタの計算に比べて粗いモデルの周波数応答の計算に}CPU時間がかからないため、フィルタの最適化を何倍も高速化できます。 ${\displaystyle \mathbf {M} }$${\displaystyle \mathbf {M} }$

結合係数は相互インダクタンスと静電容量の両方の関数であるため、ベクトル場とで表現することもできます。Hongは、結合係数は正規化された重なり積分の合計であると提案しました^{[14] [15]}${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle \mathbf {H} }$

${\displaystyle \kappa =\kappa _{E}+\kappa _{M},}$ （19）

どこ

${\displaystyle \kappa _{E}={\frac {\int _{V}\epsilon \mathbf {E} _{1}{\dot {\mathbf {E} }}_{2}dv}{\sqrt {\int _{V}\epsilon |\mathbf {E} _{1}|^{2}dv\times \int _{V}\epsilon |\mathbf {E} _{2}|^{2}dv}}}}$（20）

そして

${\displaystyle \kappa _{M}={\frac {\int _{V}\mu \mathbf {H} _{1}{\dot {\mathbf {H} }}_{2}dv}{\sqrt {\int _{V}\epsilon |\mathbf {E} _{1}|^{2}dv\times \int _{V}\epsilon |\mathbf {E} _{2}|^{2}dv}}}.}$（21）

対照的に、結合モード形式に基づいて、AwaiとZhangは負の符号を使用することを支持する式を導出した。すなわち、^{[16] [17]}${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle \kappa =\kappa _{M}-\kappa _{E}.}$ （22）

式(19)と式(22)は近似値である。これらは、弱い結合の場合にのみ、式(8)と正確に一致する。式(20)と式(21)は、式(12)と式(13)とは対照的に、マルチ共振器バンドパスフィルタの周波数応答において透過ゼロの形で現れることが多い周波数分散を記述しないため、近似値である。

ラグランジュの運動方程式を用いて、メタダイマーを形成する2つのスプリットリング共振器間の相互作用は、2つの項の差に依存することが実証された。この場合、結合エネルギーは表面電荷と電流密度で表された。^{[18] [19] [20]}

^{最近、エネルギー結合モード理論（ECMT） [21]} 、つまり固有値問題の形の結合モード形式に基づいて、結合係数は実際に磁気成分と電気成分の差であり、であることが示されました。^[22]ポインティングの定理を微視的な形で使用して、共振器モード間の相互作用エネルギーの観点から表現できること が示されました。${\displaystyle \kappa _{M}}$${\displaystyle \kappa _{E}}$${\displaystyle \kappa }$

• Tyurnev, VV (2010)「マイクロ波フィルタ理論における共振器の結合係数」、Progress In Electromagnetics Research B、Vol. 21、p. 47–67。