結合モード理論

結合モード理論( CMT ) は、空間または時間における振動システム (機械的、光学的、電気的など)の結合を解析するための摂動論的アプローチです。結合モード理論では、さまざまなデバイスやシステムを 1 つ以上の結合共振器としてモデル化できます。光学では、このようなシステムには、レーザー空洞、フォトニック結晶スラブ、メタマテリアル、リング共振器などがあります。

結合モード理論は、1950年代にミラーのマイクロ波伝送線路^[1]、ピアスの電子ビーム^[2]、グールドの後進波発振器^[3]の研究で初めて登場しました。これにより、 HAハウス らが光導波路に対して表現した現代的な定式化の数学的基礎が整いました。 ^{[4] [5]}

1990年代後半から2000年代初頭にかけて、ナノフォトニクスの分野では結合モード理論への関心が再燃しました。結合モード理論はフォトニック結晶スラブのファノ共鳴を説明するために使用されており^[6]、非直交モードの光共振器を説明するためにも修正されています。^[7] 2000年代後半以降、研究者は結合モード理論を利用して磁気結合共振器の概念を説明してきました。^{[8] [9]}

結合モード理論が適用される振動システムは、2 次偏微分方程式によって記述されます。CMT では、2 次偏微分方程式を 1 つ以上の結合された 1 次常微分方程式として表現できます。CMT では、一般に次の仮定が立てられます。

• 直線性
• 時間反転対称性
• 時間不変性
• 弱いモード結合（非結合モードの小さな摂動）
• エネルギー節約

結合モード理論の定式化は、電磁気問題の解をモードに展開することに基づいています。ほとんどの場合、完全な基底を形成するために採用されるのは固有モードです。基底の選択と放物線近似などの特定の仮説の採用は、定式化ごとに異なります。^[10]で提案されているさまざまな定式化の分類は次のとおりです。

1. 初期微分方程式の選択。結合モード理論のいくつかはマクスウェル微分方程式^{[11] [12]から直接導かれるが、他の理論では}ヘルムホルツ方程式を得るために簡略化が用いられる。
2. CMTの方程式を導出するための原理の選択。相互性定理^{[11] [12]}または変分原理のいずれかが使用されています。
3. 固有モード基底を確立するために用いられる直交積の選択。文献によっては非共役形式^[11]が用いられ、他の文献では複素共役形式が用いられている。^[12]
4. 最後に、方程式の形式をベクトル^{[11] [12]}またはスカラーのいずれかから選択します。

電磁波の n モードが媒体中を損失なくz方向に伝播する場合、各モードによって伝送される電力はモード電力 Pm によって表されます。特定の周波数 ωにおいて。

${\displaystyle P^{\omega }(z)=\sum _{m}^{n}P_{m}^{\omega }(z)={\frac {1}{4}}\sum _{m}^{n}N_{m}^{\omega }\left|a_{m}^{\omega }(z)\right|^{2}\,\!}$

ここで、N _{m は}m番目のモードのノルムであり、a _mはモード振幅です。

• 固有モード展開

• カップルモード理論に関する WMM モード ソルバー マニュアル