コンウェイの13進関数

コンウェイの13進関数は、イギリスの数学者ジョン・H・コンウェイが中間値の定理の逆の反例として考案した数学関数である。言い換えれば、任意の区間において特定の中間値の性質を満たす関数である。${\displaystyle (a,b)}$関数${\displaystyle f}$からのすべての値を取る${\displaystyle f(a)}$そして${\displaystyle f(b)}$—しかし、連続的ではない。

コンウェイの13進関数は、定義が簡単な関数の例であり、あらゆる区間で実数値をとる、つまり、あらゆる点で全射関数である。^{[ 1 ]}したがって、あらゆる点で不連続で ある。コンウェイがこの関数を作成したことは、数学者のアデビシ・アグボラによって証明されており、レイモンド・リコリッシュが1982年の講義で、連続性についての議論の中でコンウェイがこの関数に言及したことを学生に話したと報告している。 ^{[ 2 ]}

• すべての実数${\displaystyle x}$は、一意の標準的な方法で13 進数で表現できます。このような表現では、数字 0～9 に加えて、{A、B、C} などの 3 つの追加記号を使用します。たとえば、54349589 は 13 進数で 表現されますB34C128。
• {A, B, C} の代わりに、記号 {+, −, .} を適切に選択すると、13 進数の中には、10 進数で整った小数のような表現を持つものがあります。たとえば、54349589 という数は 13 進数で となります−34.128。もちろん、ほとんどの数はこのようには理解できません。たとえば、3629256 という数は 13 進数で となります9+0−−7。
• コンウェイの13進関数は実数xを入力として受け取り、その13進数表現を記号の列{0, 1, ..., 9, +, −, .}とみなします。ある位置から先が整形式10進数rのように見える場合、f ( x ) = rとなります。そうでない場合、f ( x ) = 0 となります。（整形式とは、+ または − 記号で始まり、小数点記号がちょうど 1 つ含まれ、その後は数字 0～9 のみが含まれることを意味します。）たとえば、数x がの表現を持つ場合8++2.19+0−−7+3.141592653、f ( x ) = +3.141592653 となります。

コンウェイは13進関数を定義した${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$以下のように記述してください。${\displaystyle x}$値を 13 進数 ( 13 進数の「10 進数」) として、13 個の記号を「数字」として使用します。0、1 、...、9、A、B、C 。末尾に C が繰り返されてはいけません。先頭に符号がある場合があり、どこかに整数部分と小数部分を区切る小数点があります。これらはどちらも後続の処理では無視します。これらの「数字」はそれぞれ 0 から 12 までの値を持つと考えることができます。コンウェイは当初、A、B、C の代わりに「+」、「−」、「.」を使用し、通常の 10 進数の数字や記号と明確に区​​別するために、すべての 13 進数の「数字」に下線を引きました。

• ある時点から、${\displaystyle x}$形式は${\displaystyle Ax_{1}x_{2}\dots x_{n}Cy_{1}y_{2}\dots }$すべての数字が${\displaystyle x_{i}}$そして$\displaystyle y_j}}$は${\displaystyle \{0,\dots ,9\},}$それから${\displaystyle f(x)=x_{1}\dots x_{n}.y_{1}y_{2}\dots }$通常の10進数表記で。
• 同様に、${\displaystyle x}$で終わる${\displaystyle Bx_{1}x_{2}\dots x_{n}Cy_{1}y_{2}\dots ,}$それから${\displaystyle f(x)=-x_{1}\dots x_{n}.y_{1}y_{2}\dots .}$
• さもないと、${\displaystyle f(x)=0.}$

例えば：

• ${\displaystyle f(\mathrm {12345A3C14.159} \dots _{13})=f(\mathrm {A3C14.159} \dots _{13})=3.14159\dots ,}$
• ${\displaystyle f(\mathrm {B1C234} _{13})=-1.234,}$
• ${\displaystyle f(\mathrm {1C234A567} _{13})=0.}$

• 中間値の定理によれば、すべての連続実関数は${\displaystyle f}$中間値特性を持つ: 任意の区間 ( a , b ) において、関数は ${\displaystyle f}$すべての点を通過する${\displaystyle f(a)}$そして${\displaystyle f(b).}$コンウェイの13進関数は、その逆が誤りであることを示している。すなわち、中間値の性質は満たすが、連続ではない。
• 実際、コンウェイの13進関数は、より強力な中間値特性を満たします。すべての区間( a , b )において、関数は ${\displaystyle f}$この関数はすべての実数を通る。その結果、より強い不連続性、すなわち至るところで不連続であるという性質を満たす。
• 上記から、関数の不連続性に関してさらに多くのことが導き出される。そのグラフは密である。${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$
• コンウェイの13進関数がこのより強い中間特性を満たすことを証明するために、( a , b )を区間、cをその区間内の点、rを任意の実数とする。rの13進符号化を次のように作成する。rの10進表現から始め、小数点をCに置き換え、rの符号を先頭にA（rが正の場合）またはB（rが負の場合）を付加して示す。コンウェイの13進関数の定義により、結果として得られる文字列は ${\displaystyle {\hat {r}}}$次のような性質を持つ${\displaystyle f({\hat {r}})=r.}$さらに、末尾が${\displaystyle {\hat {r}}}$この性質を持つ。したがって、 cの末尾を置き換えると${\displaystyle {\hat {r}},}$結果として得られる数値はf ( c ' ) = rとなります。この修正を 10 進数表現の十分遠くまで導入することで、${\displaystyle c,}$新しい番号を確実に${\displaystyle c'}$依然としてその区間内に位置する${\displaystyle (a,b).}$これは、任意の数rに対して、すべての区間に点を見つけることができることを証明しています。${\displaystyle c'}$そのため${\displaystyle f(c')=r.}$
• コンウェイの13進関数は、任意の区間内のほぼすべての実数を0に写像します。 ^{[ 3 ]}

• ダルブー関数

• Oman, Greg (2014). "中間値の定理の逆: コンウェイからカントール、剰余類、そしてその先へ" (PDF) . Missouri J. Math. Sci . 26 (2): 134– 150. doi : 10.35834/mjms/1418931955 . 2016年8月20日にオリジナルからアーカイブされた(PDF) 。