生成された回帰変数

最小二乗推定問題では、モデルで指定された回帰変数のうち、1つ以上が観測できない場合があります。この問題を回避する1つの方法は、観測可能なデータから回帰変数を推定または生成することです。 ^{[ 1 ]}この生成回帰変数法は、観測できない操作変数にも適用できます。いくつかの正則条件の下では、最小二乗推定量の一致性と漸近正規性は維持されますが、漸近分散は一般に異なる形式になります。

対象となるモデルが以下の通りであると仮定します。

${\displaystyle y_{i}=g(x_{1i},x_{2i},\beta )+u_{i}}$

ここで、gは条件付き平均関数であり、その形式は有限次元パラメータβまで既知である。${\displaystyle x_{2i}}$観測できないが、我々は${\displaystyle x_{2i}=h(w_{i},\gamma )}$パラメータまで既知の関数hについて${\displaystyle \gamma }$、そして無作為抽出サンプル${\displaystyle y_{i}=g(x_{1i},x_{2i},\beta )+u_{i}}$が利用可能です。一致推定量があると仮定します。${\displaystyle {\hat {\gamma }}}$の${\displaystyle \gamma }$観察を利用する${\displaystyle w_{i}}$'s。次に、βは（非線形）最小二乗法を用いて推定できます。${\displaystyle {\hat {x_{2i}}}=h(w_{i},{\hat {\gamma }})}$上記の設定の例としては、Anderson et al. (1976 ^{[ 2 ]}および Barro (1977) ^{[ 3 ]が挙げられる。}

この問題は2段階M推定量の枠組みに該当するため、推定量の整合性と漸近正規性は2段階M推定量の一般理論を用いて検証できる。^{[ 4 ]}一般的な2段階M推定量問題と同様に、生成された回帰変数推定量の漸近分散は、通常、すべての回帰変数が観測された推定量の漸近分散とは異なる。しかし、いくつかの特殊なケースでは、2つの推定量の漸近分散は同一となる。そのような例の1つとして、回帰関数がパラメータに関して線形であり、未観測の回帰変数がスカラーである設定を考えてみよう。未観測の回帰変数の係数をで表す。${\displaystyle \delta }$もし${\displaystyle \delta =0}$そして${\displaystyle E[\triangledown \gamma h(W,\gamma )U]=0}$すると漸近分散は回帰変数を観測するかどうかに依存しない。^{[ 4 ]}

モデルに若干の修正を加えることで、上記の定式化は操作変数推定にも適用できます。対象となるモデルがパラメータに関して線形であると仮定します。誤差項はいくつかの回帰変数と相関があり、モデルは観測できないが表現を持ついくつかの操作変数を指定します。${\displaystyle z_{i}=h(w_{i},\gamma )}$. 一貫性のある推定量${\displaystyle \gamma }$の${\displaystyle {\hat {\gamma }}}$利用可能${\displaystyle {\hat {z}}_{i}=h(w_{i},{\hat {\gamma }})}$操作変数として、関心のあるパラメータはIVによって推定できます。上記の場合と同様に、緩やかな条件下で一致性と漸近正規性が成り立ち、漸近分散は観測されたIVの場合とは異なる形式になります。しかし、2つの推定量が同じ漸近分散を持つ場合もあります。そのようなケースの1つは、次の場合に発生します。${\displaystyle E[\triangledown \gamma h(W,\gamma )]=0[4]}$この特殊なケースでは、推定されたパラメータに関する推論は、通常のIV標準誤差推定量を用いて行うことができる。