コール・コール方程式

コール・コール方程式は、ポリマーにおける誘電緩和を記述するためによく用いられる緩和モデルである。

それは次の式で与えられる

${\displaystyle \varepsilon ^{*}(\omega )=\varepsilon _{\infty }+{\frac {\varepsilon _{s}-\varepsilon _{\infty }}{1+(i\omega \tau )^{1-\alpha }}}=\varepsilon _{\infty }+{\frac {\Delta \varepsilon }{1+(i\omega \tau )^{1-\alpha }}}}$

どこ${\displaystyle \varepsilon ^{*}}$は複素誘電率です。${\displaystyle \varepsilon _{s}}$そして${\displaystyle \varepsilon _{\infty }}$は「静的」誘電率と「無限周波数」誘電率であり、${\displaystyle \omega }$は角周波数であり、${\displaystyle \tau }$は誘電緩和時間定数です。

指数パラメータ${\displaystyle \alpha }$0から1の間の値をとる は、さまざまなスペクトル形状を記述することを可能にします。${\displaystyle \alpha =0}$コール・コールモデルはデバイモデルに帰着する。${\displaystyle \alpha >0}$緩和は引き伸ばされる。つまり、対数スケール上でより広い範囲に及ぶ。${\displaystyle \omega }$デバイ緩和よりもスケールが大きい。

複素誘電率の分離${\displaystyle \varepsilon (\omega )}$ケネス・スチュワート・コールとロバート・ヒュー・コールによる原著論文^{[ 1 ]}では、次のように報告されている。

${\displaystyle \varepsilon '=\varepsilon _{\infty }+(\varepsilon _{s}-\varepsilon _{\infty }){\frac {1+(\omega \tau )^{1-\alpha }\sin \alpha \pi /2}{1+2(\omega \tau )^{1-\alpha }\sin \alpha \pi /2+(\omega \tau )^{2(1-\alpha )}}}}$

${\displaystyle \varepsilon ''={\frac {(\varepsilon _{s}-\varepsilon _{\infty })(\omega \tau )^{1-\alpha }\cos \alpha \pi /2}{1+2(\omega \tau )^{1-\alpha }\sin \alpha \pi /2+(\omega \tau )^{2(1-\alpha )}}}}$

双曲線関数を導入すると、上記の式は次のように簡略化されます。

${\displaystyle \varepsilon '=\varepsilon _{\infty }+{\frac {1}{2}}(\varepsilon _{0}-\varepsilon _{\infty })\left[1-{\frac {\sinh((1-\alpha )x)}{\cosh((1-\alpha )x)+\sin(\alpha \pi /2)}}\right]}$

${\displaystyle \varepsilon ''={\frac {1}{2}}(\varepsilon _{0}-\varepsilon _{\infty }){\frac {\cos(\alpha \pi /2)}{\cosh((1-\alpha )x)+\sin(\alpha \pi /2)}}}$

ここ${\displaystyle x=\ln(\omega \tau )}$。

これらの式は、次の場合にデバイの式に簡略化されます。${\displaystyle \alpha =0}$。

コール・コール方程式の時間領域における電流応答はキュリー・フォン・シュヴァイドラーの法則に対応し、電荷応答は、短い時間引数に対して、伸長指数関数またはコールラウシュ・ウィリアムズ・ワッツ（KWW）関数に対応する。^{[ 2 ]}

コール・コール緩和は、対称性パラメータが${\displaystyle \beta =1}$つまり、緩和ピークが対称である場合。ハブリリアク・ネガミ緩和のもう1つの特殊なケースは、${\displaystyle \beta <1}$そして${\displaystyle \alpha =1}$これはコール・デイビッドソン緩和として知られています。無秩序系における異常誘電緩和の簡潔かつ最新のレビューについては、カルミコフを参照してください。

• デバイ緩和
• コール・デイビッドソン弛緩法
• ハヴリリアク・ネガミ弛緩法
• キュリー＝フォン・シュヴァイドラーの法則

• コール、ケネス・スチュワート；コール、ロバート・ヒュー（ 1942 ）。「誘電体における分散と吸収 II. 直流特性」。化学物理学ジャーナル。10 （2）：98–105。Bibcode：1942JChPh..10...98C。doi：10.1063 /1.1723677。
• Kalmykov, YP; Coffey, WT; Crothers, DSF; Titov, SV (2004). "無秩序系における誘電緩和の微視的モデル". Physical Review E . 70 (4) 041103. Bibcode : 2004PhRvE..70d1103K . doi : 10.1103/PhysRevE.70.041103 . PMID 15600393 .