分類ルール

偽陽性とは、検査が誤って（不正確に）陽性結果を報告する場合に発生します。例えば、ある疾患の医学検査で、患者が実際にはその疾患にかかっていないにもかかわらず、陽性結果が出たと判定されることがあります。偽陽性は、混同行列の右上（状態陰性×検査結果陽性）の要素として表されるのが一般的です。

一方、偽陰性とは、検査が誤って陰性結果を報告する場合に発生します。例えば、ある疾患の医学検査で、患者が実際にはその疾患にかかっているにもかかわらず、陰性結果が出たとしても、患者は疾患にかかっていないと判断されることがあります。偽陰性は、混同行列の左下（状態陽性×検査結果陰性）の単位として一般的に表されます。

真陽性とは、検査が正しく陽性結果を報告する場合に発生します。例えば、ある疾患の医学検査で陽性結​​果が出たとすると、患者はその疾患に罹患していることを示します。患者の検査で疾患の存在が確認された場合、これは真陽性であることが証明されます。真陽性は、混同行列の左上（状態陽性×検査結果陽性）の要素として表されるのが一般的です。

真の陰性とは、検査が正しく陰性結果を報告する場合を指します。例えば、ある疾患の医学検査で陽性結​​果が出たとしても、患者はその疾患にかかっていないと判断される場合があります。患者の検査結果も陰性であれば、これは真実であることが証明されます。真の陰性は、混同行列の右下（状態陰性×検査結果陰性）の要素として表されるのが一般的です。

ベイズの定理を用いることで、陽性結果が実際には偽陽性である確率を求めることができます。病気が稀な場合、検査の精度が比較的高くても、陽性結果の大部分は偽陽性である可能性があることがわかります。

単純に考えると、陽性反応が出た検査結果のうち、偽陽性はわずか5％に過ぎないと思うかもしれないが、それは全くの間違いである。これから見ていくとおりだ。

仮に、人口のわずか0.1%しかその病気にかかっていないとすると、無作為に選ばれた患者がその病気にかかっている事前確率は0.001となる。

ベイズの定理を用いることで、陽性検査結果が偽陽性である確率を計算できる。

${\displaystyle {\begin{aligned}P(A|B)&={\frac {P(B|A)P(A)}{P(B|A)P(A)+P(B|\neg A)P(\neg A)}}\\\\&={\frac {0.99\times 0.001}{0.99\times 0.001+0.05\times 0.999}}\\~\\&\approx 0.019.\end{aligned}}}$

したがって、陽性結果が偽陽性である確率は約 1 − 0.019 = 0.98、つまり98% です。     

検査の精度は高いように見えるものの、この疾患の発生率が非常に低いため、検査で陽性反応が出た患者の大多数は実際には疾患にかかっていません。しかしながら、検査で陽性反応が出た患者のうち実際に疾患にかかっている人の割合（0.019）は、まだ検査を受けていない人のうち疾患にかかっている人の割合（0.001）の19倍です。したがって、この検査は無意味ではなく、再検査によって結果の信頼性が向上する可能性があります。

偽陽性の問題を減らすためには、患者が病気にかかっていない場合に陰性結果を報告する検査は非常に正確でなければなりません。検査が病気にかかっていない患者に対して0.999の確率で陰性結果を報告する場合、

${\displaystyle P(A|B)={\frac {0.99\times 0.001}{0.99\times 0.001+0.001\times 0.999}}\approx 0.5,}$

つまり、1 − 0.5 = 0.5 が偽陽性の確率となります。    

上記の例を用いて、ベイズの定理により、陰性結果が実際には偽陰性である確率を求めることができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}P(A|\neg B)&={\frac {P(\neg B|A)P(A)}{P(\neg B|A)P(A)+P(\neg B|\neg A)P(\neg A)}}\\\\&={\frac {0.01\times 0.001}{0.01\times 0.001+0.95\times 0.999}}\\~\\&\approx 0.0000105.\end{aligned}}}$

陰性結果が偽陰性である確率は約0.0000105、つまり0.00105%です。疾患が稀な場合、偽陰性は検査における大きな問題にはなりません。

しかし、人口の60%が病気にかかっている場合、偽陰性の確率は高くなります。上記の検査では、偽陰性の確率は

${\displaystyle {\begin{aligned}P(A|\neg B)&={\frac {P(\neg B|A)P(A)}{P(\neg B|A)P(A)+P(\neg B|\neg A)P(\neg A)}}\\\\&={\frac {0.01\times 0.6}{0.01\times 0.6+0.95\times 0.4}}\\~\\&\approx 0.0155.\end{aligned}}}$

陰性結果が偽陰性である確率は0.0155、つまり 1.55%に上昇する。

上記の例を用いて、ベイズの定理を使って、陽性結果が実際に真の陽性である確率を求めることができます。

• 検査を受けた患者がその病気にかかっている場合、検査結果は99％の確率で陽性となり、その確率は0.99です。
• 検査を受けた患者がその病気にかかっていない場合、検査結果が陽性となる確率は5%、つまり0.05である。
• 仮に、人口のわずか0.1%しかその病気にかかっていないとすると、無作為に選ばれた患者がその病気にかかっている事前確率は0.001となる。

Aを患者が病気にかかっている状態、Bを検査結果が陽性である証拠とします。このとき、検査結果が陽性である場合に患者が実際に病気にかかっている確率は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}P(A|B)&={\frac {P(B|A)P(A)}{P(B|A)P(A)+P(B|\neg A)P(\neg A)}}\\\\&={\frac {0.99\times 0.001}{0.99\times 0.001+0.05\times 0.999}}\\~\\&\approx 0.019.\end{aligned}}}$

陽性結果が真の陽性である確率は約0.019%です。

ベイズの定理を用いて、真の陰性の確率を計算することもできます。上記の例を用いて説明します。

• 検査を受けた患者がその病気にかかっている場合、検査結果は99％の確率で陽性となり、その確率は0.99です。

${\displaystyle {\begin{aligned}P(\neg A|\neg B)&={\frac {P(\neg B|\neg A)P(A)}{P(\neg B|\neg A)P(\neg A)+P(\neg B|A)P(A)}}\\\\&={\frac {0.99\times 0.999}{0.99\times 0.999+0.05\times 0.001}}\\~\\&\approx 0.0000105.\end{aligned}}}$

陰性結果が真の陰性である確率は0.9999494、つまり99.99%です。この疾患は稀であり、陽性率が高く、陰性率も高いため、真の陰性率は高くなります。