クレローの関係式（微分幾何学）

古典微分幾何学において、アレクシス・クロード・ド・クレローにちなんで名付けられたクレローの関係式は、単位球上の大円軌道を特徴づける公式である。この公式は、もし${\displaystyle \gamma }$大円のパラメーター化である場合

${\displaystyle \rho (\gamma (t))\sin \psi (\gamma (t))={\text{定数}},\,}$

どこ${\displaystyle \rho (P)}$ある地点からの距離${\displaystyle P}$大円に沿って${\displaystyle z}$軸、そして${\displaystyle \psi (P)}$大円と点を通る子午線との間の角度は${\displaystyle P}$。

この関係は、任意の回転面上の測地線に対しても有効である。

クレローの関係の一般版の記述は次のとおりです。^{[ 1 ]}

させて${\displaystyle \gamma }$回転面上の測地線となる${\displaystyle S}$、 させて${\displaystyle \rho }$点からの距離は${\displaystyle S}$回転軸から、${\displaystyle \psi }$間の角度${\displaystyle \gamma }$そして子午線​${\displaystyle S}$。 それから${\displaystyle \rho \sin \psi }$に沿って一定です${\displaystyle \gamma }$逆に、 ${\displaystyle \rho \sin \psi }$ある曲線に沿って一定である${\displaystyle \gamma }$表面に、そしてどの部分も${\displaystyle \gamma }$は、${\displaystyle S}$、 それから${\displaystyle \gamma }$測地線である。

プレスリー（185ページ）はこの定理を、粒子が測地線に沿って移動する際に、その表面上に粒子を維持する力以外の力が働かない場合の、回転軸に関する角運動量保存の法則 の表現として説明している。

ここで、回転軸を中心とした外部トルクを受けずに、回転面上を運動するように拘束された粒子を想像してみましょう。角運動量保存の法則により、次のことが成り立ちます。

${\displaystyle r\,v_{\theta }=L,}$

どこ

• ${\displaystyle r}$= 軸までの距離、
• ${\displaystyle v_{\theta }}$= 子午線に直交する速度成分、
• ${\displaystyle L}$= 軸周りの角運動量が保存される。

しかし幾何学的には、

${\displaystyle v_{\theta }=|v|\sin \psi ,}$

速度を正規化すると${\displaystyle |v|=1}$（単位速度測地線）では、次のようになります。

${\displaystyle r\sin \psi ={\frac {L}{|v|}}={\text{定数}}.}$

• M. ド・カルモ著、『曲線と曲面の微分幾何学』、257ページ。