クレローの方程式

数学解析において、クレロー方程式（またはクレロー方程式）は、次の形式の微分方程式である。

${\displaystyle y(x)=x{\frac {dy}{dx}}+f\left({\frac {dy}{dx}}\right)}$

どこ${\displaystyle f}$は連続的に微分可能です。これはラグランジュ微分方程式の特殊なケースです。1734年にこれを導入したフランスの数学者アレクシス・クレローにちなんで名付けられました。 ^{[ 1 ]}

クレロー方程式を解くには、${\displaystyle x}$結果として

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dx}}+x{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},}$

それで

$\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\cdot \left[x+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right)\right]=0}$

したがって、

$\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0}$、 または${\displaystyle \left[x+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right)\right]=0.}$

前者の場合、${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=C}$ある定数に対して${\displaystyle C}$これをクレローの式に代入すると、次の直線関数の族が得られる。

${\displaystyle y(x)=Cx+f(C),\,}$

いわゆるクレロー方程式の一般解。

後者の場合、

${\displaystyle \left[x+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right)\right]=0}$

1つの解のみを定義する${\displaystyle y(x)}$、いわゆる特異解は、そのグラフが一般解のグラフの包絡線である。特異解は通常、パラメトリック表記を用いて次のように表される。${\displaystyle (x(p),y(p))}$、 どこ${\displaystyle p={\frac {dy}{dx}}}$。

特異解のパラメトリック記述は次の形式をとる。

${\displaystyle x(t)=-f'(t),\,}$

${\displaystyle y(t)=f(t)-tf'(t),\,}$

どこ${\displaystyle t}$これはパラメータです。

以下の曲線は、2つのクレロー方程式の解を表しています。

• 
  ${\displaystyle f(p)=p^{2}}$
• 
  ${\displaystyle f(p)=p^{3}}$

いずれの場合も、一般解は黒色で、特異解は紫色で示されている。

さらに、次の形式の1階偏微分方程式

${\displaystyle \displaystyle u=xu_{x}+yu_{y}+f(u_{x},u_{y})}$

これはクレローの方程式としても知られています。^{[ 2 ]}

• ダランベールの方程式
• クリスタルの方程式
• ルジャンドルの変身

• Clairaut、Alexis Claude (1734)、「Solution de plusieurs problèmes où il s'agit de trouver des Courbes dont la propriété conste dans une 確かな関係 entre leursbranch, exprimée par une Équation donnée.」、王立科学アカデミー史: 196–215。

• Kamke, E. (1944)、Differentialgleichungen: Lösungen und Lösungsmethoden (ドイツ語)、vol.  2. Partielle Differentialgleichungen 1er Ordnung für eine geuchte Funktion、Akad。フェルラーグスゲゼル。

• Rozov, N. Kh. (2001) [1994]、「クレロー方程式」、数学百科事典、EMS Press。