カーマイケルの定理

数論において、アメリカの数学者R. D. カーマイケルにちなんで名付けられたカーマイケルの定理は、互いに素なパラメーターP、  Qと正の判別式を持つ、第一種非退化ルーカス数列U _n ( P、  Q )のどれに対しても、 n  ≠ 1、2、6である元U _nには、12 番目のフィボナッチ数F(12) =  U ₁₂ (1、−1) = 144 とそれと等価なU ₁₂ (−1、−1) = −144を除いて、それより前のどの素因数も割り切れない素因数が少なくとも 1 つ存在することを述べています。

特に、n が12 より大きい場合、n番目のフィボナッチ数F( n ) には、それより前のフィボナッチ数を割り切れない素因数が少なくとも 1 つあります。

カーマイケル（1913、定理21）はこの定理を証明した。最近、薮田（2001）^[1]が簡単な証明を与えた。

互いに素な2つの整数PとQが与えられ、 PQ  ≠ 0であるとき、U _n ( P ,  Q )を次のように定義される第一種 ルーカス列とする。${\displaystyle D=P^{2}-4Q>0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}(P,Q)&=0,\\U_{1}(P,Q)&=1,\\U_{n}(P,Q)&=P\cdot U_{n-1}(P,Q)-Q\cdot U_{n-2}(P,Q)\qquad {\mbox{ }}n>1 の場合.\end{aligned}}}$

すると、n  ≠ 1, 2, 6 に対して、U _n ( P ,  Q ) には、 U ₁₂ (1, −1) = F(12) = 144、U ₁₂ (−1, −1) = −F(12) = −144を除き、m  <  nであるどのU _m ( P ,  Q ) も割り切れない素因数が少なくとも 1 つあります。このような素数 p は、 U _n ( P ,  Q )の特性因数または原始素因数と呼ばれます。実際、カーマイケルは、もう少し強い定理を示した。n ≠ 1, 2, 6 に対して、  U n ₍ P , Q  )には、 D を割り切れない原始素因数が少なくとも 1 つ存在する^[2]。ただし、 U ₃ (1, −2) =  U ₃ (−1, −2) = 3、U ₅ (1, −1) =  U ₅ (−1, −1) = F(5) = 5、U ₁₂ (1, −1) = F(12) = 144、U ₁₂ (−1, −1) = −F(12) = −144 は除く。

Dは0より大きくなければならないことに注意してください。したがって、 U ₁₃ (1, 2)、U ₁₈ (1, 2)、U ₃₀ (1, 2)などのケースは含まれません。この場合はD  = −7 < 0だからです。

フィボナッチの場合、 nが 12 までの 場合の唯一の例外は次のとおりです。

F(1) = 1、F(2) = 1であり、素因数は存在しない。

F(6) = 8、その唯一の素因数は2（F(3)）

F(12) = 144、その唯一の素因数は2（F(3)）と3（F(4)）である。

F( n ) の最小の原始素因数は

1、1、2、3、5、1、13、7、17、11、89、1、233、29、61、47、1597、19、37、41、421、199、28657、23、3001、521、53、281、514229、31、557、2207、19801、3571、141961、107、73、9349、135721、2161、2789、211、433494437、43、109441、...（ OEISのシーケンスA001578）

カーマイケルの定理によれば、上記の例外を除き、すべてのフィボナッチ数には少なくとも 1 つの原始素因数があります。

n  > 1の場合、 n番目のペル数は、それ以前のどのペル数も割り切れない素因数を少なくとも1つ持つ。n番目のペル数の最小の原始素因数は、

1、2、5、3、29、7、13、17、197、41、5741、11、33461、239、269、577、137、199、37、19、45697、23、229、1153、1549、79、53、113、44560482149、31、61、665857、52734529、103、1800193921、73、593、9369319、389、241、...（OEISのシーケンスA246556）

• ジグモンディの定理

• カーマイケル、RD (1913)、「算術形式 α ⁿ ±β ⁿの数値因数について」、Annals of Mathematics、15 (1/4): 30–70、doi :10.2307/1967797、JSTOR  1967797。