カールマンの病状

数学、特に解析学において、カールマンの条件はモーメント問題 の決定性に対する十分条件を与える。つまり、ある測度が カールマンの条件を満たす場合、その測度と同じモーメントを持つ他の測度は存在しないということである。この条件は1922年にトルステン・カールマンによって発見された。 ^[1]${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle \mu .}$

ハンバーガーモーメント問題（実数直線全体のモーメント問題） については、定理は次のように述べます。

を上の測度とし、すべてのモーメントが 有限であるとします。 の場合 、 のモーメント問題は決定的です。つまり、 は をそのモーメントのシーケンスとして 持つ上の唯一の測度です。${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \mathbb {R} }$$${\displaystyle m_{n}=\int _{-\infty }^{+\infty }x^{n}\,d\mu (x)~,\quad n=0,1,2,\cdots }$$$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }m_{2n}^{-{\frac {1}{2n}}}=+\infty ,}$$${\displaystyle (m_{n})}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle (m_{n})}$

スティルチェスモーメント問題の場合、決定性のための十分条件は $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }m_{n}^{-{\frac {1}{2n}}}=+\infty .}$$

^[2] Nasiraeeらは、これまでの仮定に反して、 ^[3]被積分関数が任意の関数である場合、反例で実証されるようにカールマン条件は十分ではないことを示しました。実際、この例は確率和定理における一対一性、すなわち決定性という特性に違反しています。被積分関数が任意の関数である場合、彼らはさらに一般化カールマン条件と呼ばれるモーメント問題の決定性に対する十分条件を確立しました。

• Akhiezer, NI (1965)。「古典モーメント問題と解析におけるいくつかの関連問題」 Oliver & Boyd。
• 第3.3章、Durrett、Richard。確率：理論と例。第5版。ケンブリッジ統計および確率数学シリーズ49。ケンブリッジ;ニューヨーク、NY：ケンブリッジ大学出版局、2019年。