ボニー・ブレジスの定理

数学において、フランスの数学者ジャン＝ミシェル・ボニーとハイム・ブレジスによるボニー・ブレジスの定理は、多様体の閉部分集合がベクトル場によって定義される流れの下で不変であるための必要十分条件を与える。すなわち、閉集合の各点においてベクトル場は、その集合への任意の外法線ベクトルとの内積が正でなければならない。ベクトルが閉集合の点における外法線であるとは、その点で局所的に最大化される実数値の連続微分可能関数が存在し、その関数がその点でのそのベクトルの導関数である場合である。閉部分集合が境界を持つ滑らかな部分多様体である場合、この条件はベクトル場が境界点で部分集合の外側を向いてはならないことを述べている。非滑らかな部分集合への一般化は、偏微分方程式の理論において重要である。

この定理は実は1942年に南雲道雄によって発見されており、南雲定理としても知られています。^[1]

F をC ²多様体Mの閉部分集合とし、X をM上のリプシッツ連続なベクトル場とします。次の条件は同値です。

• Fから始まるXのすべての積分曲線はFに残ります。
• Fの点mにおけるすべての外部法線ベクトルvに対して、 ( X ( m ), v ) ≤ 0 が成立する。

Hörmander (1983) に従って、最初の条件が 2 番目の条件を意味することを証明するには、c ( t ) を、 Fでc (0) = xかつdc/dt = X ( c )となる積分曲線とします 。 g はxでF上の極大値を持つものとします。このとき、 t が小さく正であるとき、 g ( c ( t )) ≤ g ( c (0))が成り立ちます。微分すると、これはg '( x )⋅ X ( x ) ≤ 0 を意味します。

逆の含意を証明するには、結果が局所的であるため、R ⁿでそれをチェックするだけで十分である。その場合、Xは局所的にリプシッツ条件を満たす。

${\displaystyle \displaystyle {|X(a)-X(b)|\leq C|ab|.}}$

Fが閉じている場合、距離関数D ( x )= d ( x , F ) ^2は次の微分可能性を持ちます。

${\displaystyle \displaystyle {D(x+h)=D(x)+\min _{z}2h\cdot (xz)+o(|h|),}}$

ここで、最小値はF内のxに最も近い点z上で取られます。

これを確認するには、

${\displaystyle \displaystyle {f_{\varepsilon }(h)=\min _{z}2h\cdot (xz),}}$

ここで最小値はFのz上でd ( x , z )≤d ( x , F ) +εとなる値です。

f _{ε は}hに関して同次であり、任意の球面上でf ₀まで一様に増加するので、

${\displaystyle \displaystyle {f_{0}(h)\geq f_{\varepsilon }(h)\geq f_{0}(h)-C(\varepsilon )|h|,}}$

ε が 0 に近づくにつれて、定数C (ε) も 0 に近づきます。

この微分可能性は、

${\displaystyle \displaystyle {D(x+h)\leq |x+hz|^{2}\leq |zx|^{2}+2h\cdot (xz)+|h|^{2}=D(x)+f_{0}(h)+|h|^{2}}}$

同様に| h | ≤ εの場合

${\displaystyle \displaystyle {D(x+h)\geq D(x)+f_{\varepsilon }(h)+|h|^{2}.}}$

微分可能性は、

${\displaystyle \displaystyle {\lim {\delta \downarrow 0}{D(c(t+\delta ))-D(c(t)) \over \delta }=2\min _{z}X(c(t))\cdot (c(t)-z),}}$

c ( t )に最も近い点zについて最小化される。任意のz

${\displaystyle \displaystyle {2X(c(t))\cdot (c(t)-z)=2X(z)\cdot (c(t)-z)-2(X(z)-X(c(t)))\cdot (c(t)-z).}}$

−| y − c ( t )| ^{2 は}y = zでF上の極大値を持つため、c ( t ) − z はzにおける外法線ベクトルです。したがって、右辺の第 1 項は非負です。X のリプシッツ条件は、第2項が 2 C ⋅ D ( c ( t ) )によって上方に制限されることを意味します。 したがって、

${\displaystyle \displaystyle {e^{-2Ct}D(c(t))}}$

は非正なので、tの非増加関数です。したがって、c (0) がFに含まれる場合、D ( c (0))=0 となり、t > 0 に対してD ( c ( t )) = 0となります。つまり、c ( t ) はt > 0 に対してFに含まれることになります。

• 南雲、ミティオ(1942)、「Über die lage derintegralkurven gewöhnlicher Differentialgleichungen」、日本数学物理学第 3 紀、 24 : 551–559 （ドイツ語）
• ヨーク、ジェームズ A. (1967)、「常微分方程式の不変性」、数学システム理論、1 (4): 353–372、doi :10.1007/BF01695169、S2CID  5973578
• Bony、Jean-Michel (1969)、「Principe du Maximum, inégalité de Harnack et unicité du problème de Cauchy pour les opérateurs elliptiques dégénerés」(PDF)、Annales de l'Institut Fourier、19 : 277–304、doi : 10.5802/ aif.319 （フランス語）
• ブレジス、ハイム(1970)、「フロー不変集合の特性について」、Comm. Pure Appl. Math.、223 (2): 261–263、doi :10.1002/cpa.3160230211
• Redheffer, RM (1972)、「フロー不変集合に関するボニーとブレジスの定理」、アメリカ数学月刊誌、79 (7): 740–747、doi :10.2307/2316263、JSTOR  2316263
• クランドール、マイケル G. (1972)、「ペアノの存在定理とフロー不変性の一般化」、ア​​メリカ数学会紀要、36 (1): 151–155、doi : 10.1090/S0002-9939-1972-0306586-2
• Volkmann, Peter (1974)、「正の Invarianz einer abgeschlossenen Teilmenge eines Banachschen Raumes bezüglich der Differentialgleichung u'= f (t, u)」、Journal für die reine und angewandte Mathematik、1976 (285): 59–65、doi :10.1515/crll.1976.285.59、S2CID  117740430 （ドイツ語）
• Hörmander、Lars (1983)、偏微分演算子の分析 I、Springer-Verlag、pp. 300–305、ISBN 3-540-12104-8、定理8.5.11
• Blanchini、Franco (1999)、「調査論文: 制御における不変性の設定」、Automatica、35 (11): 1747–1767、doi :10.1016/S0005-1098(99)00113-2
• ウォルター、ヴォルフガング(1998)。常微分方程式。シュプリンガー。ISBN 978-0387984599。

• バリア証明書