ボネ・フランクリン計画

ボネ・フランクリン方式は、 2001年にダン・ボネとマシュー・K・フランクリンによって提案されたアイデンティティベースの暗号化システムです。 ^{[1]この記事では、} BasicIdentと呼ばれるプロトコルバージョンについて言及しています。これは、楕円曲線と有限体上のペアリング（ワイルペアリング）の応用です。

この方式はペアリングに基づいているため、すべての計算は 2 つのグループで実行され、${\displaystyle \textstyle G_{1}}$${\displaystyle \textstyle G_{2}}$

について、 を素数とし、上の楕円曲線を考えます。追加の制約によって除外される 場合に限り が等しいため、この曲線は特異ではないことに注意してください。${\displaystyle \textstyle G_{1}}$${\displaystyle \textstyle p}$${\displaystyle \textstyle p\equiv 2\mod 3}$ ${\displaystyle \textstyle E:y^{2}=x^{3}+1}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$${\displaystyle \textstyle 4a^{3}+27b^{2}=27=3^{3}}$${\displaystyle \textstyle 0}$${\displaystyle \textstyle p=3}$

を の素因数( は の位数) とし、の位数 の点を求めます。は によって生成される点の集合です。${\displaystyle \textstyle q>3}$${\displaystyle \textstyle p+1}$${\displaystyle \textstyle E}$${\displaystyle \textstyle P\in E}$${\displaystyle \textstyle q}$${\displaystyle \textstyle G_{1}}$${\displaystyle \textstyle P}$${\displaystyle \textstyle \left\{nP\|n\in \left\{0,\ldots ,q-1\right\}\right\}}$

${\displaystyle \textstyle G_{2}}$は の位数の部分群です。この群を明示的に構築する必要はありません (これはペアリングによって行われます)。したがって、生成元を見つける必要もありません。 ${\displaystyle \textstyle q}$${\displaystyle \textstyle GF\left(p^{2}\right)^{*}}$

${\displaystyle \textstyle G_{1}}$は加法群とみなされ、 の点の加法群の部分群となります。一方、は乗法群とみなされ、有限体 の乗法群の部分群となります。 ${\displaystyle \textstyle E}$${\displaystyle \textstyle G_{2}}$${\displaystyle \textstyle GF(p^{2})^{*}}$

公開鍵ジェネレーター (PKG) は以下を選択します。

1. 公開グループ（ジェネレータ を使用）と、上記のように、セキュリティパラメータ に依存するサイズで、${\displaystyle \textstyle G_{1}}$${\displaystyle \textstyle P}$${\displaystyle \textstyle G_{2}}$${\displaystyle \textstyle q}$${\displaystyle \textstyle k}$
2. 対応するペアリング、${\displaystyle \textstyle e}$
3. ランダムな秘密マスターキー、${\displaystyle \textstyle K_{m}=s\in \mathbb {Z} _{q}^{*}}$
4. 公開鍵、${\displaystyle \textstyle K_{pub}=sP}$
5. 公開ハッシュ関数、${\displaystyle \textstyle H_{1}:\left\{0,1\right\}^{*}\rightarrow G_{1}^{*}}$
6. 固定された公開ハッシュ関数と${\displaystyle \textstyle H_{2}:G_{2}\rightarrow \left\{0,1\right\}^{n}}$${\displaystyle \textstyle n}$
7. メッセージ空間と暗号空間${\displaystyle \textstyle {\mathcal {M}}=\left\{0,1\right\}^{n},{\mathcal {C}}=G_{1}^{*}\times \left\{0,1\right\}^{n}}$

の公開鍵を作成するために、PKGは以下を計算します。 ${\displaystyle \textstyle ID\in \left\{0,1\right\}^{*}}$

1. ${\displaystyle \textstyle Q_{ID}=H_{1}\left(ID\right)}$そして
2. ユーザーに付与される秘密鍵。${\displaystyle \textstyle d_{ID}=sQ_{ID}}$

が与えられた場合、暗号文は次のように得られます。 ${\displaystyle \textstyle m\in {\mathcal {M}}}$${\displaystyle \textstyle c}$

1. ${\displaystyle \textstyle Q_{ID}=H_{1}\left(ID\right)\in G_{1}^{*}}$、
2. ランダムに選択、${\displaystyle \textstyle r\in \mathbb {Z} _{q}^{*}}$
3. 計算し、${\displaystyle \textstyle g_{ID}=e\left(Q_{ID},K_{pub}\right)\in G_{2}}$
4. セット。${\displaystyle \textstyle c=\left(rP,m\oplus H_{2}\left(g_{ID}^{r}\right)\right)}$

は PKG の公開鍵であり、受信者の ID とは独立している ことに注意してください。${\displaystyle \textstyle K_{pub}}$

が与えられた場合、平文は秘密鍵を使用して取得できます。 ${\displaystyle \textstyle c=\left(u,v\right)\in {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle \textstyle m=v\oplus H_{2}\left(e\left(d_{ID},u\right)\right)}$

暗号化と復号化の両方における主なステップは、ペアリングを採用し、プレーンテキストと排他的論理和をとるマスク (対称キーのような) を生成することです。したがって、プロトコルの正しさを検証するには、正直な送信者と受信者がここで同じ値を取得することを確認する必要があります。 ${\displaystyle \textstyle H_{2}}$

暗号化エンティティは を使用し、復号化には が適用されます。ペアリングの特性により、次のようになります。 ${\displaystyle \textstyle H_{2}\left(g_{ID}^{r}\right)}$${\displaystyle \textstyle H_{2}\left(e\left(d_{ID},u\right)\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{2}\left(e\left(d_{ID},u\right)\right)&=H_{2}\left(e\left(sQ_{ID},rP\right)\right)\\&=H_{2}\left(e\left(Q_{ID},P\right)^{rs}\right)\\&=H_{2}\left(e\left(Q_{ID},sP\right)^{r}\right)\\&=H_{2}\left(e\left(Q_{ID},K_{pub}\right)^{r}\right)\\&=H_{2}\left(g_{ID}^{r}\right)\\\end{aligned}}}$

この方式のセキュリティは、使用されるグループの双線形ディフィー・ヘルマン問題 (BDH) の難しさに依存します。ランダムオラクルモデルでは、プロトコルはBDH 仮定の下で 意味的に安全であることが証明されています。

BasicIdentは選択された暗号文に対して安全ではない。しかし、FujisakiとOkamoto ^{[2]による、この特性を持つ}FullIdentと呼ばれる方式への変換を可能にする普遍的な変換方法がある。

• セミナー「銀行における暗号化とセキュリティ」/「代替暗号学」、ルール大学ボーフム^{[永久リンク切れ‍ ]}
• Ben Lynn らによって設計された P(airing) B(ased) C(cryptography) ライブラリ。