ビット誤り率

デジタル伝送において、ビットエラー数とは、通信チャネルを介して受信されたデータストリームのうち、ノイズ、干渉、歪み、またはビット同期エラーによって変更されたビットの数を指します。

ビット誤り率（BER）は、単位時間あたりのビット誤りの数です。ビット誤り率（BERとも呼ばれる）は、調査対象の時間間隔中に転送されたビットの総数でビット誤りの数を割ったものです。ビット誤り率は単位のない性能指標であり、多くの場合パーセンテージで表されます。^{[ 1 ]}

ビット誤り確率p _eは、ビット誤り率の期待値です。ビット誤り率は、ビット誤り確率の近似値と考えることができます。この近似値は、長時間経過時や多数のビット誤り発生時に正確です。

例

例として、以下の送信ビット列を想定してみましょう。

1 1 0 0 0 1 0 1 1

そして、受信したビット列は以下のとおりです。

0 1 0 1 0 1 0 0 1、

この場合、ビットエラーの数（下線が引かれたビット）は3です。BERは、3つの誤ったビットを9つの転送ビットで割った値であり、結果としてBERは0.333、つまり33.3%となります。

パケットエラー率

パケットエラー率（PER）は、誤って受信したデータパケットの数を、受信したパケットの総数で割った値です。パケットは、少なくとも1ビットが誤っている場合に誤りであると判断されます。PERの期待値はパケットエラー確率p _pで表され、データパケット長がNビットの場合、次のように表すことができます。

p_{p}=1-(1-p_{e})^{N}=1-e^{N\ln(1-p_{e})}

、

ビットエラーが互いに独立していると仮定します。ビットエラー確率が小さく、データパケットが大きい場合、これはおおよそ次のようになります。

p_{p}\approx p_{e}N.

フレーム、ブロック、またはシンボルの伝送についても同様の測定を行うことができる。

_{上記の式は、}対応するBER（pe _）をPER（pp）とデータパケット長N（ビット単位）の関数として表すように変形できます。

p_{e}=1-{\sqrt[{N}]{(1-p_{p})}}

BERに影響を与える要因

通信システムにおいて、受信側のBERは、伝送チャネルノイズ、干渉、歪み、ビット同期の問題、減衰、無線マルチパスフェージングなどの影響を受ける可能性があります。

BER（ビット誤り率）は、強い信号強度を選択すること（ただし、クロストークやビット誤りの増加を引き起こさない場合）、低速で堅牢な変調方式または回線符号化方式を選択すること、冗長な前方誤り訂正符号などのチャネル符号化方式を適用することによって改善できる。

伝送BERは、誤り訂正前に検出された誤りビット数を、転送されたビット総数（冗長誤り符号を含む）で割った値です。情報BERは、復号誤り確率とほぼ等しく、誤り訂正後に誤りとして残った復号ビット数を、復号されたビット総数（有用な情報）で割った値です。通常、伝送BERは情報BERよりも大きくなります。情報BERは、前方誤り訂正符号の強度によって影響を受けます。

BERの分析

BERは、確率的（モンテカルロ）コンピュータシミュレーションを用いて評価することができる。単純な伝送チャネルモデルとデータソースモデルを仮定すれば、BERは解析的に計算することも可能である。そのようなデータソースモデルの一例として、ベルヌーイソースが挙げられる。

情報理論で使用される単純なチャネルモデルの例は次のとおりです。

バイナリ対称チャネル（伝送チャネルにおける非バースト型ビットエラーの場合の復号エラー確率の解析に使用）
フェージングのない加法性白色ガウス雑音（AWGN）チャネル。

最悪のシナリオは、ノイズが有用な信号を完全に支配する、完全にランダムなチャネルです。この場合、伝送BERは50%になります（ベルヌーイ二値データソースと二値対称チャネルを仮定した場合。詳細は後述）。

ノイズの多いチャネルでは、BERは、正規化された搬送波対雑音比の尺度である Eb/N0（ビットあたりのエネルギーと雑音電力スペクトル密度の比）、またはEs/N0（変調シンボルあたりのエネルギーと雑音スペクトル密度の比）の関数として表されることが多い。

例えば、 BPSK変調とAWGNチャネルの場合、Eb/N0の関数としてのBERは次のように表されます。

$\operatorname {BER} =Q({\sqrt {2E_{b}/N_{0}}})$ 、

どこ $Q(x):={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-t^{2}/2}dt$ [ ²^]

デジタル通信システムの性能を評価するために、一般的にBER曲線が用いられます。光通信ではBER(dB)対受信電力(dBm)のグラフが、無線通信ではBER(dB)対SNR(dB)のグラフが用いられます。

ビット誤り率を測定することで、適切な前方誤り訂正符号を選択するのに役立ちます。このような符号のほとんどはビット反転のみを訂正し、ビット挿入やビット削除は訂正しないため、ハミング距離はビット誤りの数を測定する適切な指標となります。多くのFEC符号化器は、現在のBERを継続的に測定しています。

ビットエラー数を測定するより一般的な方法は、レーベンシュタイン距離です。レーベンシュタイン距離による測定は、フレーム同期前の生のチャネル性能を測定する場合や、マーカーコードやウォーターマークコードなど、ビット挿入やビット削除を訂正するように設計された誤り訂正コードを使用する場合に適しています。 ^{[ 3 ]}

数学的草案

BERとは、電気ノイズによってビットが誤って解釈される可能性のことである。 $w(t)$ 双極性NRZ伝送を考慮すると、

$x_{1}(t)=A+w(t)$ 「1」の場合、 $x_{0}(t)=-A+w(t)$ 「0」の場合。 $x_{1}(t)$ そして $x_{0}(t)$ 期間がある $T$ 。

ノイズが双方向スペクトル密度を持つことを知っている ${\frac {N_{0}}{2}}$ 、

$x_{1}(t)$ は $\displaystyle {\mathcal {N}}\left(A,{\frac {N_{0}}{2T}}\right)}$

そして $x_{0}(t)$ は ${\mathcal {N}}\left(-A,{\frac {N_{0}}{2T}}\right)$ 。

BERに戻ると、ビットの誤解釈の可能性が $p_{e}=p(0|1)p_{1}+p(1|0)p_{0}$ 。

$p(1|0)=0.5\,\operatorname {erfc} \left({\frac {A+\lambda }{\sqrt {N_{o}/T}}}\right)$ そして $p(0|1)=0.5\,\operatorname {erfc} \left({\frac {A-\lambda }{\sqrt {N_{o}/T}}}\right)$

どこ $\lambda$ は決定の閾値であり、0 に設定されます。 $p_{1}=p_{0}=0.5$ 。

信号の平均エネルギーを利用できます $E=A^{2}T$ 最終的な式を見つけるには：

$p_{e}=0.5\,\operatorname {erfc} \left({\sqrt {\frac {E}{N_{o}}}}\right).$ ±§