ビオシュのルール

ビオシュの規則は、フランスの数学者シャルル・ビオシュ [fr] （1859-1949）によって定式化されたもので、積分関数に正弦と余弦が含まれる特定の不定積分の計算を助ける規則である。

以下では、 は、およびにおける有理式です。を計算するには、被積分関数 について考えます。 を含むこの被積分関数全体の動作を、t軸の平行移動と反射の下で考えます。平行移動と反射は、基本的な三角関数の対称性と周期性に対応するものです。 ${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle \sin t}$${\displaystyle \cost}$${\displaystyle \int f(t)\,dt}$${\displaystyle \omega (t)=f(t)\,dt}$${\textstyle dt}$

Bioche のルールでは次のように規定されています。

1. の場合、変数の適切な変更は です。${\displaystyle \omega (-t)=\omega (t)}$${\displaystyle u=\cos t}$
2. の場合、変数の適切な変更は です。${\displaystyle \omega (\pi -t)=\omega (t)}$${\displaystyle u=\sin t}$
3. の場合、変数の適切な変更は です。${\displaystyle \omega (\pi +t)=\omega (t)}$${\displaystyle u=\tan t}$
4. 前述の関係のうち 2 つが両方とも成立する場合、適切な変数変更は です。${\displaystyle u=\cos 2t}$
5. それ以外の場合は を使用します。${\displaystyle u=\tan(t/2)}$

規則 1 と 2 はt軸を反転するため、 dtの符号が反転し、したがって、これらの変換によるωの挙動はƒの挙動とは符号が異なります。規則はƒで記述することもできますが、 ωで記述すると、 ωと同じ対称性を持つ変数の変更u ( t ) を選択できるという記憶上の利点があります。

これらの規則は、実際には定理として述べることができます。^[1]は、提案された変数の変更が（規則が適用され、fが実際に の形式である場合）、部分分数分解によって計算できる新しい変数での有理関数の積分に簡約されることを示しています。 ${\displaystyle f(t)={\frac {P(\sin t,\cos t)}{Q(\sin t,\cos t)}}}$

積分を計算するには、ビオシュの規則も適用されます。 ${\displaystyle \int \sin^{p}(t)\cos^{q}(t)dt}$

• pとqが奇数の場合は、 を使用します。${\displaystyle u=\cos(2t)}$
• pが奇数でq が偶数の場合は、 を使用します。${\displaystyle u=\cos(t)}$
• pが偶数でq が奇数の場合は、 を使用します。${\displaystyle u=\sin(t)}$
• そうでない場合は、 linearizに簡約されます。

を計算しているとします。 ${\displaystyle \int g(\cosh t,\sinh t)dt}$

ビオシュの規則が(それぞれ、 )で計算することを示唆している場合、双曲正弦と双曲余弦の場合、適切な変数変更は(それぞれ、) です。すべての場合において、変数変更によって有理関数に簡約できますが、この最後の変数変更は 4 番目のケース ( ) で最も興味深いものです。 ${\displaystyle \int g(\cos t,\sin t)dt}$${\displaystyle u=\cos(t)}$${\displaystyle \sin t,\tan t,\cos(2t),\tan(t/2)}$${\displaystyle u=\cosh(t)}$${\displaystyle \sinh(t),\tanh(t),\cosh(2t),\tanh(t/2)}$${\displaystyle u=e^{t}}$${\displaystyle u=\tanh(t/2)}$

簡単な例として、

${\displaystyle \int \sin t\,dt.}$

すると は奇関数ですが、t軸を原点に関して鏡映すると、ω は同じままです。つまり、ω は偶関数のように動作します。これは、偶関数であるコサインの対称性と同じなので、記憶法では置換(ルール 1) を使用するように指示されています。この置換により、積分は になります。超越関数を含む被積分関数は、有理関数 (定数) を含む被積分関数に簡約されています。結果は ですが、これはもちろん基本的なものであり、ビオシュのルールがなくても実行できます。 ${\displaystyle f(t)=\sin t}$${\displaystyle u=\cos t}$${\displaystyle -\int デュ}$${\displaystyle -u+c=-\cos t+c}$

積分関数は

${\displaystyle \int {\frac {dt}{\sin t}}}$

は例1と同じ対称性を持つので、同じ置換を使用します。したがって、 ${\displaystyle u=\cos t}$

${\displaystyle {\frac {dt}{\sin t}}=-{\frac {du}{\sin ^{2}t}}=-{\frac {du}{\ 1-\cos ^{2}t}}.}$

これにより積分は次のように変換される。

${\displaystyle \int -{\frac {du}{1-u^{2}}},}$

これは部分分数を使って積分できる。なぜなら であるからである。結果は次のようになる。 ${\displaystyle {\frac {1}{1-u^{2}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{1+u}}+{\frac {1}{1-u}}\right)}$

${\displaystyle \int {\frac {dt}{\sin t}}=-{\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+\cos t}{1-\cos t}}+c.}$

考慮する

${\displaystyle \int {\frac {dt}{1+\beta \cos t}},}$

ここで、関数f は偶関数ですが、積分関数 ω 全体は奇関数なので、規則 1 には該当しません。また、規則 2 と 3 で説明した対称性も欠いているため、最後の手段として に置き換えます。 ${\displaystyle \beta ^{2}$${\displaystyle u=\tan(t/2)}$

と2番目の置換を使用すると、結果は次のようになります。 ${\displaystyle \cos t={\frac {1-\tan^{2}(t/2)}{1+\tan^{2}(t/2)}}}$${\displaystyle v={\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}u}$

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} t}{1+\beta \cos t}}={\frac {2}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\arctan \left[{\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}\tan {\frac {t}{2}}\right]+c.}$

Wikiversityにはビオシュの法則に関する学習リソースがあります

• Zwillinger、『統合ハンドブック』、p. 108
• スチュワート『積分方法：基本積分を見つけるための実践ガイド』、190−197ページ。