ベイズ計量経済学

ベイズ計量経済学は、ベイズの原理を経済モデリングに適用する計量経済学の一分野です。ベイズ主義は、相対頻度の解釈ではなく、 確率の信頼度の解釈に基づいています。

ベイズの原理は、A を条件とする B の確率は、A と B の結合確率を B の確率で割った比であると述べるベイズの定理に基づいています。ベイズ計量経済学者は、モデル内の係数が事前分布を持つと仮定します。

このアプローチは、アーノルド・ゼルナーによって最初に普及されました。^[1]

結果に関わらず賭けに負けないようにしたいのであれば、主観的確率は確率論の標準的な公理を満たさなければなりません。 ^[2]データが観測される前は、パラメータは未知の量、つまりランダム変数とみなされ、の事前分布が割り当てられます。ベイズ分析は事後分布、つまり離散データの観測を条件とするランダム変数の分布の推定に重点を置いています。事後密度関数はベイズの定理に基づいて計算できます。 ${\displaystyle \theta}$ ${\displaystyle \pi (\theta )}$${\displaystyle 0\leq \theta \leq 1}$ ${\displaystyle \pi (\theta |y)}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \pi (\theta |y)}$

${\displaystyle \pi (\theta |y)={\frac {p(y|\theta )\pi (\theta )}{p(y)}}}$

ここで、正規化された確率関数が得られます。連続データの場合、これは次の式に相当します。 ${\displaystyle p(y)=\int p(y|\theta )\pi (\theta )d\theta }$${\displaystyle y}$

${\displaystyle \pi (\theta |y)={\frac {f(y|\theta )\pi (\theta )}{f(y)}}}$

はベイズ統計学と計量経済学の中心であり、次の要素から構成されています。 ${\displaystyle f(y)=\int f(y|\theta )\pi (\theta )d\theta }$

• ${\displaystyle \pi (\theta |y)}$: の事後密度関数;${\displaystyle \theta |y}$
• ${\displaystyle f(y|\theta )}$:パラメータ値が の場合の観測データの尤度関数、すなわち密度関数。${\displaystyle y}$${\displaystyle \theta}$
• ${\displaystyle \pi (\theta )}$:の事前分布;${\displaystyle \theta}$
• ${\displaystyle f(y)}$: の確率密度関数。${\displaystyle y}$

事後関数は によって与えられます。つまり、事後関数は尤度関数と事前分布の積に比例し、情報の更新方法として理解できます。 と の差は、新しいデータを観察した後の情報ゲインです。 事前分布の選択は に制限を課すために使用されます。たとえば、ベータ分布は、( i) 0 と 1 の間で定義され、(ii) さまざまな形状を生成でき、(iii) 尤度関数 と組み合わせると標準形式の事後分布を生成するため、一般的な選択肢です。 ベータ分布の特性に基づくと、サンプル サイズが大きくなるほど、事後分布の平均が最大尤度推定値に近似することを意味します。尤度関数の仮定された形式は事前情報の一部であり、正当化される必要があります。 事前の根拠によって明確な選択が得られない場合は、事後オッズ比を 使用してさまざまな分布の仮定を比較できます。一般的に想定される形式には、ベータ分布、ガンマ分布、一様分布などがあります。モデルに複数のパラメータが含まれる場合、パラメータはベクトルとして再定義できます。そのパラメータのベクトルに確率論を適用すると、個々のパラメータまたはパラメータ グループの周辺分布と条件付き分布が得られます。データ生成が順次行われる場合、ベイズの原理によれば、新しい証拠に基づくパラメータの事後分布は、以前のデータとパラメータが与えられた場合の新しいデータの尤度と、古いデータが与えられた場合のパラメータの事後分布との積に比例します。これにより、ベイズ更新を通じて新しい情報がパラメータに関する信念に影響を与える直感的な方法が提供されます。サンプル サイズが大きい場合、(i) 事前分布は事後分布の決定において比較的小さな役割を果たし、(ii) 事後分布はパラメータの真の値で退化した分布に収束し、(iii) 事後分布は平均 でほぼ正規分布します。 ${\displaystyle \pi (\theta |y)\propto f(y|\theta )\pi (\theta )}$${\displaystyle \pi (\theta )}$${\displaystyle \pi (\theta |y)}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle 0\leq \theta \leq 1}$${\displaystyle \theta ^{\Sigma y_{i}}(1-\theta )^{n-\Sigma y_{i}}}$${\displaystyle {\bar {y}}.}$${\displaystyle {\hat {\theta }}}$

ベイズ統計学の基礎となる考え方は、 18世紀にトーマス・ベイズ牧師によって開発され、後にピエール＝シモン・ラプラスによって拡張されました。1950年には早くも、ベイズ推論の計量経済学における可能性はヤコブ・マルシャックによって認識されていました。^[3]ベイズのアプローチは、1960年代初頭にWDフィッシャー、ジャック・ドレーズ、クリフォード・ヒルドレス、トーマス・J・ローゼンバーグ、ジョージ・ティアオ、アーノルド・ゼルナーによって初めて計量経済学に適用されました。ベイズ計量経済学におけるこれらの初期の取り組みの背後にある中心的な動機は、パラメータ推定量と、特定のモデル定式化には含まれていないモデルパラメータに関する利用可能な不確実な情報とを組み合わせることでした。^[4] 1960年代半ばから1970年代半ばにかけて、伝統的な構造的アプローチの下でベイズ原理に沿った計量経済学的手法の再定式化が研究議題の主流を占め、1971年のゼルナーの「計量経済学におけるベイズ推論入門」はそのハイライトの1つであり、頻度主義計量経済学の研究に密接に追随しました。その中で、主な技術的課題は、経済的解釈や数学的扱いやすさを失うことなく事前密度を指定することの難しさ、および密度関数のコンテキストでの積分計算の難しさでした。ベイズの再定式化プログラムの結果は、不確実な指定に対する構造モデルの脆弱性を浮き彫りにしました。この脆弱性は、エドワード・リーマーの研究の動機となりました。リーマーは、モデル作成者が「ポストデータモデル構築」にふける傾向を強く批判し、その結果、モデル作成者のモデル選択における作業ルールの根底にある事前構造を明示的に特定するために、事前密度指定のタイプに従って回帰モデルを選択することに基づく経済モデリングの方法を開発しました。^[5]ベイズ計量経済学は、パラメータ制約の明示的な確率指定のため、クリストファー・シムズの構造モデルからVARモデルへの移行の試みにも魅力的でした。1980年代半ば以降のコンピュータ能力の急速な成長に後押しされ、1990年代初頭に初めて行われたマルコフ連鎖モンテカルロシミュレーションの統計モデルと計量モデルへの適用により、ベイズ分析は経済学と計量経済学における影響力を大幅に高めることができました。^[6]

21世紀初頭以来、ベイズ計量経済学の研究は次のようなことに集中してきた。^[7]

• 並列化とGPU計算に適したサンプリング方法。
• 非線形効果と完全な予測密度を考慮した複雑な経済モデル。
• 暗黙のモデル特徴の分析と意思決定分析。
• 計量経済分析におけるモデルの不完全性の組み込み。

• クープ、ゲイリー、ポワリエ、デール J.、トビアス、ジャスティン L. (2007)。ベイズ計量経済学的手法。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-85571-6。
• ランカスター、トニー（2004）。『現代ベイズ計量経済学入門』ブラックウェル。ISBN 1-4051-1720-6。
• ゼルナー、A. (1996)。計量経済学におけるベイズ推論入門（1971年版の再版）。Wiley。ISBN 0-471-16937-4。
• グリーンバーグ、エドワード (2012)。ベイズ計量経済学入門（第2版）。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-1-107-01531-9。