バナッハ関数代数

関数解析において、コンパクトハウスドルフ空間X上のバナッハ関数代数は、Xのすべての連続複素数値関数の可換C*-代数C(X)の単位元部分代数Aと、Aをバナッハ代数にするノルムとを合わせたものである。

関数代数が点pで消滅するとは、すべての に対してf ( p ) = 0が成り立つ場合をいう。${\displaystyle f\in A}$関数代数は、異なる点のペアごとに、${\displaystyle p,q\in X}$関数があります${\displaystyle f\in A}$そのため${\displaystyle f(p)\neq f(q)}$。

すべての${\displaystyle x\in X}$定義する${\displaystyle \varepsilon _{x}(f)=f(x),}$のために${\displaystyle f\in A}$。 それから${\displaystyle \varepsilon _{x}}$ は準同型（特性）である${\displaystyle A}$、非ゼロの場合${\displaystyle A}$消えない${\displaystyle x}$。

定理：バナッハ関数代数は半単純（すなわち、そのヤコブソン根基がゼロに等しい）であり、各可換単位元を持つ半単純バナッハ代数は、（ゲルファント変換を介して）その指標空間（相対弱位相が与えられた場合のAから複素数への代数準同型の空間）上のバナッハ関数代数と同型である。

標準が${\displaystyle A}$は、一様ノルム（またはsupノルム）である。${\displaystyle X}$、 それから${\displaystyle A}$これは一様代数と呼ばれます。一様代数は、バナッハ関数代数の重要な特殊な場合です。

• アンドリュー・ブラウダー(1969)関数代数入門、WA ベンジャミン
• HG Dales (2000)バナッハ代数と自動連続性、ロンドン数学会モノグラフ24、クラレンドンプレスISBN 0-19-850013-0
• グラハム・アラン＆H・ガース・デールズ（2011）『バナッハ空間と代数入門』オックスフォード大学出版局ISBN 978-0-19-920654-4