Artin's conjecture on primitive roots

In number theory, Artin's conjecture on primitive roots states that a given integera that is neither a square number nor −1 is a primitive root modulo infinitely many primesp. The conjecture also ascribes an asymptotic density to these primes. This conjectural density equals Artin's constant or a rational multiple thereof.

The conjecture was made by Emil Artin to Helmut Hasse on September 27, 1927, according to the latter's diary. The conjecture is still unresolved as of 2026. In fact, there is no single value of a for which Artin's conjecture is proved.

Let a be an integer that is not a square number and not −1. Write a = a₀b² with a₀square-free. Denote by S(a) the set of prime numbers p such that a is a primitive root modulo p. Then the conjecture states

1. S(a) has a positive asymptotic density inside the set of primes. In particular, S(a) is infinite.
2. Under the conditions that a is not a perfect power and a₀ is not congruent to 1 modulo 4 (sequence A085397 in the OEIS), this density is independent of a and equals Artin's constant, which can be expressed as an infinite product

   ${\displaystyle C_{\mathrm {Artin} }=\prod _{p\ \mathrm {prime} }\left(1-{\frac {1}{p(p-1)}}\right)=0.3739558136\ldots }$(sequence A005596 in the OEIS).

The positive integers satisfying these conditions are:

2, 3, 6, 7, 10, 11, 12, 14, 15, 18, 19, 22, 23, 24, 26, 28, 30, 31, 34, 35, 38, 39, 40, 42, 43, 44, 46, 47, 48, 50, 51, 54, 55, 56, 58, 59, 60, 62, 63, … (sequence A085397 in the OEIS)

The negative integers satisfying these conditions are:

2, 4, 5, 6, 9, 10, 13, 14, 16, 17, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 29, 30, 33, 34, 36, 37, 38, 40, 41, 42, 45, 46, 49, 50, 52, 53, 54, 56, 57, 58, 61, 62, … (sequence A120629 in the OEIS)

上記の条件を満たさないaの場合にも、同様の予想積公式^{[ 1 ]}が密度に対して存在します。これらの場合、予想密度は常にC _Artinの有理数倍になります。aが平方数またはa = −1の場合、密度は0になります。より一般的に、aが素数pのp乗である場合、その数にを掛ける必要があります。${\displaystyle {\frac {p(p-2)}{p^{2}-p-1}};}$そのような素数p が複数ある場合は、その数を掛け合わせる必要があります。${\displaystyle {\frac {p(p-2)}{p^{2}-p-1}}}$すべてのそのような素数pに対して)。同様に、₀がmod 4 で 1 と合同である場合、その数に を掛ける必要があります。${\displaystyle {\frac {p(p-1)}{p^{2}-p-1}}}$aのすべての素因数pに対して₀。

例えば、a = 2 とします。2 が原始根となる素数pの集合の密度はC _Artinであると予想されています。そのような素数の集合は( OEISのシーケンスA001122 )です。

S (2) = {3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197, 211, 227, 269, 293, 317, 347, 349, 373, 379, 389, 419, 421, 443, 461, 467, 491, ...}.

500より小さい要素は38個あり、500より小さい素数は95個あります。その比率（おそらくC _Artinに近づく）は38/95  =  2/5  =  0.4です。

a = 8 = 2 ³の場合、これは 2 のべき乗であるため、推測される密度は${\displaystyle {\frac {3}{5}}C}$、そしてa = 5 の場合、これは 1 mod 4 と合同であり、密度は${\displaystyle {\frac {20}{19}}C}$。

1967年、クリストファー・フーレイは、一般化されたリーマン予想の特定の場合を仮定して、この予想の条件付き証明を発表した。^{[ 2 ]}

一般化されたリーマン予想がなければ、アルティンの予想が証明されるようなaの値は一つもありません。しかし、 DR ヒース・ブラウンは1986 年に (系 1) 2、3、または 5 の少なくとも 1 つが無限個の素数p を法とする原始根であることを証明しました。^{[ 3 ]}また、アルティンの予想が失敗する素数は最大で 2 つであることを証明しました (系 2)。

一般的にアーベル多様体に対するアルティンの原始根予想の無限部分は、無条件に以下の論文で証明された。

C. Virdol、「アーベル多様体に対するアルティンの予想」、京都数学雑誌、2016年。

さらに、無条件に、一般のCM楕円曲線に対するアルティンの原始根予想の強い形式が以下で証明された。

C. Virdol、「CM楕円曲線に関するArtinの予想について」、京都数学雑誌、2020年。

条件付きではあるが、一般化リーマン予想の下で、グプタとマーティは、関連する虚二次体で素数が分解する場合の複素乗法を持つ楕円曲線に対するアルティンの原始根予想を証明した。^{[ 4 ]}

• スティーブンス定数は、アルティンの予想の一般化において、ここでアルティン定数が果たすのと同じ役割を果たす数である。
• ブラウン・ザッセンハウス予想
• フルレプテンドプライム
• 巡回数（群論）