超強力近似

超強近似は、代数群Gにおける強近似を一般化したもので、スペクトルギャップの結果をもたらします。ここでいうスペクトルとは、離散群 Γ の商群に関連付けられたラプラシアン行列のスペクトルであり、ギャップとは、第 1 固有値と第 2 固有値の間のギャップです (第 1 固有値が定数関数を固有ベクトルとして対応するように正規化されています)。ここで Γ はGの有理点の部分群ですが、格子である必要はなく、いわゆる薄い群でも構いません。ここでいう「ギャップ」とは、これらの固有値の差の下限 (絶対定数) です。

この性質の帰結および同等の性質は、整数上の特殊線形群のザリスキ稠密部分群Γ 、およびより一般的な代数群Gのクラスにおいて成り立つ可能性があり、 Γ内の任意の固定集合S （対称集合および生成集合）に関する、素数pを法とする還元Γp_のケイリーグラフの列は、エクスパンダー族である。^{[ 1 ]}

この文脈における「強近似」とは、pが十分に大きい場合、Sを縮約すると、 p個の要素を持つ素体上のGの点群全体を生成するという記述である。これは、（ pが十分に大きい場合）ケイリーグラフが連結であること、あるいはこれらのグラフ上の局所定数関数が定数であり、最初の固有値の固有空間が1次元であることと同等である。したがって、超強近似は、これらの記述に対する具体的な定量的改善である。

財産${\displaystyle (\tau )}$は離散群論におけるカジュダンの性質 (T)の類似物であり、アレクサンダー・ルボツキーによって導入された。^{[ 2 ]} Γ における有限指数の正規部分群の族Nが与えられた場合、同値な定式化の一つとして、固定された対称生成元集合Sに関する群 Γ/ Nのケイリーグラフがエクスパンダー族を形成するというものがある。^{[ 3 ]}したがって、超強近似は性質の定式化である。${\displaystyle (\tau )}$ここで、部分群Nは、十分に大きな素数pを法とする還元核である。

ルボツキー・ワイス予想は、（特別な線形群と素数を法とする還元の場合）この種の展開結果がSの選択によらず成り立つことを述べている。応用上、法が素数に限定されない結果も重要である。^{[ 4 ]}

近似部分群の手法と有限単純群の成長率を用いて、超強近似に関する結果が得られている。 ^{[ 5 ]}

• Breuillard, Emmanuel; Oh, Hee 編 (2014). Thin Groups and Superstrong Approximation . Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-03685-7。
• Matthews, CR; Vaserstein, LN; Weisfeiler, B. (1984). "Zariski-dense部分群の合同性の性質。I.". Proc. London Math. Soc . Series 3. 48 (3): 514– 532. doi : 10.1112/plms/s3-48.3.514 . MR 0735226 .