アレクサンドロフ板

数学の一分野である位相幾何学におけるアレクサンドロフの板は、教育的な例となる 位相空間です。

アレクサンドロフプランクの構築は、位相空間をとの直積として定義することから始まります。ここで は最初の非可算順序数であり、両方とも区間位相を持ちます。位相は、 の形式の集合を追加することで 位相に拡張されます 。ここで${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle [0,\omega _{1}]}$${\displaystyle [-1,1],}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle \sigma}$$${\displaystyle U(\alpha,n)=\{p\}\cup (\alpha,\omega_{1}]\times (0,1/n)}$$${\displaystyle p=(\omega _{1},0)\in X.}$

アレクサンドロフプランクは位相空間である${\displaystyle (X,\sigma ).}$

2 つの空間の積の部分空間から構築されるため、プランクと呼ばれます。

このスペースには次のプロパティがあります。 ${\displaystyle (X,\sigma )}$

1. は正則なので、それはウリゾーンです。空間は正則ではありません。なぜなら、は を含まない閉集合であり、 のすべての近傍はのすべての近傍と交差するからです。${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle (X,\sigma )}$${\displaystyle C=\{(\alpha,0):\alpha <\omega_{1}\}}$${\displaystyle (\omega _{1},0),}$${\displaystyle C}$${\displaystyle (\omega _{1},0).}$
2. 位相内の各基底長方形は正則な開集合であり、位相が拡張された上記で定義された集合も正則な開集合であるため、これは半正則です。${\displaystyle \tau}$${\displaystyle U(\alpha,n)}$
3. 集合には上限点がないので、可算コンパクトではありません。${\displaystyle \{(\omega _{1},-1/n):n=2,3,\dots \}}$
4. が点有限な細分化を持たない順序空間の被覆である場合、 および によって定義される の被覆は点有限な細分化を持たないため、これはメタコンパクトではありません。${\displaystyle \{V_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle [0,\omega _{1})}$${\displaystyle \{U_{\alpha }\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U_{1}=\{(0,\omega _{1})\}\cup ([0,\omega _{1}]\times (0,1]),}$ ${\displaystyle U_{2}=[0,\omega _{1}]\times [-1,0),}$${\displaystyle U_{\alpha}=V_{\alpha}\times [-1,1]}$

• 位相のリスト – 具体的な位相と位相空間のリスト

• Lynn Arthur Steen および J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology . Springer-Verlag, New York, 1978. Dover Publications, New York, 1995 により再版。ISBN 0-486-68735  -X (Dover 版)。
• S.ワトソン、「位相空間の構築」、一般位相幾何学の最近の進歩、エルゼビア、1992年。