音響ストリーミング

音響流は、高振幅の音響振動の吸収によって駆動される流体内の定常流です。この現象は、音響放射体の近く、またはクント管内の定在波で観察できます。音響流は、1884年にレイリー卿によって初めて説明されました。 ^[1] これは、流れによる音の発生の反対ですが、あまり知られていません。

音が伝播媒体で吸収される状況は 2 つあります。

• バルク流（「エッカート流」）中の伝播中。^[2]減衰係数は であり、ストークスの法則（音の減衰）に従います。この効果は周波数が高いほど強くなり、水中（1 MHz で約 100 m）よりも空気中（1 MHz で約 10 cm の特性距離で減衰が発生）の方がはるかに大きくなります。空気中では、石英風として知られています。${\displaystyle \alpha =2\eta \omega ^{2}/(3\rho c^{3})}$${\displaystyle \alpha^{-1}}$${\displaystyle \alpha^{-1}}$
• 境界付近では、音響流が発生します（「レイリー流」）。音が境界に到達したとき、または境界が静止した媒体内で振動しているときのいずれかです。^{[3]壁が平行に振動すると、}ストークス振動境界層内で減衰した振幅のせん断波が発生します。この効果は、1 MHz で空気と水の両方で数マイクロメートルのオーダーの減衰長に局在します。音波とマイクロバブル、弾性ポリマー、^[4]、さらには生物細胞^[5]との相互作用によって生成されるストリーミングフローは、境界駆動型音響流の例です。${\displaystyle \delta =[\eta /(\rho \omega )]^{1/2}}$

の速度場に対応する平面定在音波を考えます。問題の特性（横方向）次元を とします。ここで説明した流れ場は非粘性流れに対応します。しかし、固体壁の近くでは粘性効果が重要になります。その場合、厚さ または侵入深さ の境界層が存在します。レイリー流は、近似 で最もよく視覚化されます。の場合と同様に、速度成分はよりもはるかに小さくなります。さらに、境界層内の特性時間スケールは、音響時間スケール と比較して非常に大きくなります（ が小さいため） 。これらの観察結果は、境界層内の流れは非圧縮性と見なせることを示唆しています。 ${\displaystyle U(x,t)=v_{0}\cos kx\cos \omega t=\varepsilon \cos kx\Re (e^{-i\omega t})}$${\displaystyle k=2\pi /\lambda =\omega /c}$${\displaystyle l}$${\displaystyle \delta =(2\nu /\omega )^{1/2}}$${\displaystyle \lambda \gg l\gg \delta .}$${\displaystyle U(x,t)}$${\displaystyle (u,v)}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \delta}$${\displaystyle l/c}$

非定常非圧縮境界層方程式は

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}-\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=U{\frac {\partial U}{\partial x}}+{\frac {\partial U}{\partial t}}}$

ここで、右辺の項は境界層に課せられる圧力勾配に対応します。この問題は、 および を満たす流れ関数を使用して解くことができます。定義により、 音波の速度場は非常に小さいため、などの 漸近級数を導入することで、境界層方程式の解を正式に得ることができます。${\displaystyle \psi }$${\displaystyle u=\partial \psi /\partial y}$${\displaystyle v=-\partial \psi /\partial x.}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \varepsilon \rightarrow 0}$${\displaystyle u=\varepsilon u_{1}+\varepsilon ^{2}u_{2}+\cdots }$${\displaystyle \psi =\varepsilon \psi _{1}+\varepsilon ^{2}\psi _{2}\cdots }$

最初の近似では、

${\displaystyle {\frac {\partial u_{1}}{\partial t}}-\nu {\frac {\partial ^{2}u_{1}}{\partial y^{2}}}=-\omega \cos kx\Re (ie^{-i\omega t}).}$

壁で滑りなし条件を満たし、次のように近づく解は次のように与えられる。 ${\displaystyle y/\delta =0}$${\displaystyle U}$${\displaystyle y/\delta \rightarrow \infty }$

${\displaystyle u_{1}=\Re \left[\cos kx\,(1-e^{-\kappa y})\,e^{-i\omega t}\right],\quad \psi _{1}=\Re \left[\cos kx\,\zeta _{1}(y)\,e^{-i\omega t}\right]}$

どこでそして${\displaystyle \kappa =(1-i)/\delta }$${\displaystyle \zeta _{1}=y+(e^{-\kappa y}-1)/\kappa .}$

次の式は

${\displaystyle {\frac {\partial u_{2}}{\partial t}}-\nu {\frac {\partial ^{2}u_{2}}{\partial y^{2}}}=U{\frac {\partial U}{\partial x}}-u_{1}{\frac {\partial u_{1}}{\partial x}}-v_{1}{\frac {\partial u_{1}}{\partial y}}.}$

右辺の各項は2次式なので、周波数と の項になります。これらの項は、の時間に依存しない強制に対応します。この時間に依存しない部分のみに対応する解を見つけましょう。これは、 が方程式^[6]を満たす場合に得られます。${\displaystyle \omega +\omega =2\omega }$${\displaystyle \omega -\omega =0.}$${\displaystyle \omega =0}$${\displaystyle u_{2}}$${\displaystyle \psi _{2}=\sin 2kx\,\zeta _{2}(y)/c}$${\displaystyle \zeta _{2}}$

${\displaystyle 2\delta \zeta _{2}'''=1-|\zeta _{1}'|^{2}+\Re (\zeta _{1}\zeta _{1}'')}$

ここでプライムは に関する微分を表す。壁面の境界条件は、が有限でなければならないことを意味する。上記の式を2回積分すると、 ${\displaystyle y.}$${\displaystyle \zeta (0)=\zeta '(0)=0.}$${\displaystyle y/\delta \rightarrow \infty }$${\displaystyle \zeta _{2}}$

${\displaystyle \zeta _{2}'={\frac {3}{8}}-{\frac {1}{8}}e^{-2y/\delta }-e^{-y/\delta }\left[\sin {\frac {y}{\delta }}+{\frac {1}{4}}\cos {\frac {y}{\delta }}+{\frac {y}{4\delta }}\left(\sin {\frac {y}{\delta }}-\cos {\frac {y}{\delta }}\right)\right].}$

なので、結果として となる。したがって、境界の端では、振動運動に重ね合わせた定常流体運動が発生する。この速度強制により、境界層の外側に定常流動運動が発生する。興味深い結果は、 がに依存しないため、境界層の外側で発生する定常流動運動は粘性にも依存しないということである。ただし、定常流動運動の発生源は粘性境界層である。 ${\displaystyle y/\delta \rightarrow \infty }$${\displaystyle \zeta '(\infty )=3/8}$${\displaystyle v_{2}(x,\infty ,t)=(3/8c)\sin 2kx.}$${\displaystyle v_{2}(\infty )}$${\displaystyle \nu }$

外側の定常流動非圧縮運動は、問題の幾何学的形状に依存します。2つの壁があり、1つはとの場合、解は ${\displaystyle y=0}$${\displaystyle y=2h}$

${\displaystyle \psi _{2}={\frac {3}{16c}}\sin 2kx\,[-(y-h)+(y-h)^{3}/h^{2}]}$

これは、図に示すように、反対方向に回転する渦の周期的な配列に対応します。

音響流は非線形効果である。 ^[7] 速度場を振動部分と定常部分に分解することができる 。振動部分は音によるもので、定常部分は音響流速度（平均速度）である。ナビエ・ストークス方程式は音響流速度について次式を意味する。 ${\displaystyle {u}=v+{\overline {u}}}$${\displaystyle v}$

${\displaystyle {\overline {\rho }}{\partial _{t}{\overline {u}}_{i}}+{\overline {\rho }}{\overline {u}}_{j}{\partial _{j}{\overline {u}}_{i}}=-{\partial {\overline {p}}_{i}}+\eta {\partial _{j}^{2}{\overline {u}}_{i}}-{\partial _{j}}({\overline {\rho v_{i}v_{j}}}/{\partial x_{j}}).}$

定常流は、右側に現れる定常体積力から生じます。この力は、乱流におけるレイノルズ応力と呼ばれるものの関数です。レイノルズ応力は音の振動の振幅に依存し、体積力はこの音の振幅の減少を反映します。 ${\displaystyle f_{i}=-{\partial }({\overline {\rho v_{i}v_{j}}})/{\partial x_{j}}}$${\displaystyle -{\overline {\rho v_{i}v_{j}}}}$

この応力は速度振幅において非線形（2 次）であることがわかります。速度振幅が変化する場所でのみ、応力はゼロではありません。流体の速度が音によって のように振動する場合、2 次非線形性により に比例する一定の力が発生します 。 ${\displaystyle \epsilon \cos(\omega t)}$${\displaystyle \scriptstyle {\overline {\epsilon ^{2}\cos ^{2}(\omega t)}}=\epsilon ^{2}/2}$

たとえ粘性が音響流の原因であったとしても、境界付近の音響流の場合、結果として生じる流速から粘性の値は消えます。

流速の大きさの順序は以下のとおりです。^[8]

• 境界付近（境界層の外側）:

${\displaystyle U\sim -{3}/{(4\omega )}\times v_{0}dv_{0}/dx,}$

音の振動速度に伴って壁の境界に沿って流れます。流れは音の振動が減少する方向（振動の節）に向けられます。 ${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle x}$

• 静止半径aの振動泡^[9]の近くでは、その半径は相対振幅（または）で脈動し、その質量中心も相対振幅（または）で周期的に移動する。位相シフトで${\displaystyle \epsilon =\delta r/a}$${\displaystyle r=\epsilon a\sin(\omega t)}$${\displaystyle \epsilon '=\delta x/a}$${\displaystyle x=\epsilon 'a\sin(\omega t/\phi )}$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \displaystyle U\sim \epsilon \epsilon 'a\omega \sin \phi }$

• 壁から遠い^[10] 流れの起源から遠い（音響パワー、動粘性、音速）。流れの起源に近づくにつれて、速度はの平方根に比例します。${\displaystyle U\sim \alpha P/(\pi \mu c)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle c}$${\displaystyle P}$

• 生物種、例えば接着細胞でさえも、音波にさらされると音響流を呈することが示されています。表面に接着した細胞は、表面から離れることなく、mm/sオーダーの音響流を生成できます。^[11]

• 音響ピンセット