グッドマンとクラスカルのガンマ

統計学において、グッドマン・クラスカルのガンマは順位相関の尺度であり、各変数を順位付けしたときのデータの順序の類似性を表します。これは、両方の変数が順序尺度で測定されている場合の、クロス集計データの関連性の強さを測定します。表のサイズや同順位については調整を行いません。値の範囲は-1（100%負の相関、または完全な逆転）から+1（100%正の相関、または完全な一致）までです。値がゼロの場合は、関連性がないことを示します。

この統計量（グッドマンとクラスカルのラムダとは異なる）は、1954年から1972年にかけて一連の論文でこれを提唱したレオ・グッドマンとウィリアム・クラスカルにちなんで名付けられました。 ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

ガンマの推定値Gは、次の2つの量に依存します。

• N _{s は}、両方の変数で同じ順序でランク付けされたケースのペアの数（一致ペアの数）です。
• N _{d は}、両方の変数で逆順にランク付けされたケースのペアの数（逆順ペアの数）です。

ここで「同点」（ペア内の2つの変数のいずれかが等しい場合）は除外されます。

${\displaystyle G={\frac {N_{s}-N_{d}}{N_{s}+N_{d}}}\ .}$

この統計量は、理論量の最尤推定量とみなすことができる。${\displaystyle \gamma }$、 どこ

${\displaystyle \gamma ={\frac {P_{s}-P_{d}}{P_{s}+P_{d}}}\ ,}$

ここで、P _sとP _{d は}、ランダムに選択された観測値のペアが、両方の変数で順位付けされた場合に、それぞれ同じ順序または反対の順序になる確率です。

ガンマ統計量の臨界値は、近似を用いて求められることがあり、その近似では、統計量の変換値tはスチューデントの t 分布を参照する。

${\displaystyle t\approx G{\sqrt {\frac {N_{s}+N_{d}}{n(1-G^{2})}}}\ ,}$

ここで、nは観測数（ペアの数ではない）である。

${\displaystyle n\neq N_{s}+N_{d}.\,}$

グッドマンとクラスカルのガンマの特殊なケースとして、ユールのQ （ユールの関連係数とも呼ばれる）^{[ 5 ]}があり、これは2×2行列に特有のものです。次のイベントの分割表を考えてみましょう。各値はイベントの頻度のカウントです。

ユールのQは次のように表される。

${\displaystyle Q={\frac {ad-bc}{ad+bc}}\ .}$

計算方法はグッドマンとクラスカルのガンマと同じだが、名義尺度と順序尺度の区別は二分法的な区別に対する恣意的なラベル付けの問題となるため、解釈の幅はやや広い。したがって、Qが正の値になるか負の値になるかは、分析者がどのペアリングを一致しているとみなすかによって決まるだけで、それ以外は対称的である。

Qの値は-1から +1まで変化する。-1は 完全な負の相関、+1は 完全な正の相関、0は全く相関がないことを示す。符号は、分析者が最初に一致と判断したペアリングによって決まるが、この選択は値の大きさには影響しない。

オッズ比ORに関して、ユールのQは次のように表される。

${\displaystyle Q={\frac {{OR}-1}{{OR}+1}}\ .}$

したがって、ユールのQとユールのYは次のように関連付けられます。

${\displaystyle Q={\frac {2Y}{1+Y^{2}}}\ ,}$

${\displaystyle Y={\frac {1-{\sqrt {1-Q^{2}}}}{Q}}\ .}$

• ケンドールのタウ順位相関係数
• グッドマンとクラスカルのラムダ
• ユールのY （結合係数とも呼ばれる）

• Sheskin, DJ (2007) 『パラメトリックおよびノンパラメトリック統計手法ハンドブック』 Chapman & Hall/CRC、ISBN 9781584888147