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統計学において、イェーツ分析とは、要因計画法を用いた実験計画 から得られたデータを分析する手法です。完全要因計画法と部分要因計画法は、工学や科学分野の実験計画においてよく用いられます。これらの計画法では、各要因に2つの水準が割り当てられ、通常は低水準と高水準と呼ばれ、「-」と「+」で表されます。計算上、これらの要因は、低水準に-1、高水準に+1の値が割り当てられるようにスケーリングされます。
完全要因計画では、すべての要因について、低レベルと高レベルの可能な組み合わせをすべて含みます。部分要因計画では、これらの組み合わせの中から慎重に選択された部分集合を含みます。部分集合を選択する基準については、部分要因計画に関する記事で詳しく説明しています。
フランク・イェーツによって体系化されたイェーツ分析は、これらの実験計画法の特殊な構造を利用して、すべての因子とすべての関連する交互作用について因子効果の最小二乗推定値を生成します。イェーツ分析は、以下の質問に答えるために使用できます。
イェーツ解析の数学的な詳細は、Box、Hunter、Hunter（1978）の第10章に記載されている。
イェーツ分析は通常、 DOE平均プロットやDOE等高線プロット（「DOE」は「実験計画法」の略）などの多くのグラフ的手法によって補完されます。
イェーツ分析を実行する前に、データは「イェーツの順序」に並べる必要があります。つまり、k個の因子がある場合、k番目の列は2 ( k -1)個のマイナス記号（つまり、因子の低レベル）とそれに続く2 ( k -1)個のプラス記号（つまり、因子の高レベル）で構成されます。たとえば、3つの因子を持つ完全要因計画の場合、計画行列は次のようになります。
上記の符号表をよりよく理解し活用するために、因子と処理の組み合わせを詳細に記述する方法の一つとして、現代表記法があります。この表記法は、各処理の組み合わせの添え字を指数にし、得られた式を評価して、それを処理の組み合わせの新しい名前として使用することで得られる略記法です。名前は代数式のように見えますが、単なる名前であり、新しい値が割り当てられるわけではないことに注意してください。上記の3因子2水準モデルを例にとると、イェーツの順序で応答変数は次のようになります。
現代の表記法では次のようになる。
ここで、現代の表記法における指数は、単に以前の表記法の添え字であることが明らかです（0乗すると1になり、1乗するとそれ自身になることに注意してください）。各応答変数は、上記の表に行ごとに割り当てられます。したがって、最初の行は2行目はなどなど。各列の符号は、その要因の効果推定値を計算する際に、各応答変数が取るべき符号を表します。
分割要因計画におけるイェーツの次数を決定するには、分割要因計画の交絡構造に関する知識が必要となる。
イェーツ分析を実行すると、以下の出力が得られます。
大きさを決定するために、まず応答変数を前述のセクションで説明したようにイェーツの順序に並べます。次に、項をペアごとに加算および減算して次の列を決定します。より具体的には、応答変数の値（実験から直接得られた値）をイェーツの順序で指定し、最初の2つの項を加算して、その合計を新しい列の最初の項とします。次に、次の2つの項を加算して、新しい列の2番目の項とします。項はペアごとに加算されるため、新しい列の半分が埋まり、データのペアごとの合計のみで構成されるはずです。列の後半は同様の方法で求められますが、ペアごとの差のみが計算され、最初の項から2番目の項を、3番目の項から4番目の項を減算するなどして計算されます。こうして列が完成します。さらに列が必要な場合は、新しい列のみを使用して同じプロセスを繰り返します。つまり、n番目の列は(n-1)番目の列から生成されます（Bergerらはこのプロセスを「データのイェーツ化」と呼んでいます）。設計上、k 列が必要となり、最後の列は効果推定値を計算するために使用される列です。
ここで、eは推定された要因効果であり、s eは推定された要因効果の標準偏差である。
ここで、X iはi番目の因子または相互作用効果の推定値である。
これは、単調減少する残差標準偏差のセットで構成されます（モデルの項数が増えるにつれて適合度が向上することを示します）。最初の累積残差標準偏差は、モデルのものです。
ここで定数は応答変数の全体平均です。最後の累積残差標準偏差はモデルのものです。
この最後のモデルでは、残差標準偏差はゼロになります。
（Berger et al.、第 9 章より抜粋）ある企業が郵送で商品を販売し、3 つの要因 (郵便料金、商品価格、封筒のサイズ) が人々の反応率 (つまり、商品を購入するかどうか) に及ぼす影響を調べている研究があるとします。各要因には 2 つのレベルがあります。郵便料金 (A と表記) は、第 3 種郵便 (低) と第 1 種郵便 (高) です。商品価格 (B と表記) は、低レベルが $9.95、高レベルが $12.95 です。封筒のサイズ (C と表記) は、低レベルが #10、高レベルが 9x12 です。この実験から、次のデータが得られました。反応率は、各処理の組み合わせについて、アンケートに回答した人 (好意的または非好意的) の割合として示されていることに注意してください。
現時点では、計算対象として要因A（郵便料金）のみを取り上げるが、Aの全体的な推定値には、BとCがAに及ぼす相互作用効果も考慮に入れなければならない。計算対象となる4つの項は以下のとおりである。
合計推定値は、これら4つの項の合計を4で割ったものです。言い換えれば、Aの推定値は
ここで、和は、見やすくするために、すべての正の項をまとめて、負の項をまとめて配置するように並べ替えられています。イェーツの順序では、和は次のように書かれています。
BとCの推定値も同様の方法で求めることができます。相互作用効果の計算方法も同様ですが、ここでは考慮されていない他のすべての効果について応答を平均化します。
3因子2水準設計の符号表全体が右側に示されています。因子（列）と処理の組み合わせ（行）はどちらもイェーツの順序で記述されています。合計をイェーツの順序で並べることの利点は明らかです。表に従って符号を変更するだけで、すべての処理の組み合わせに対する効果推定値が得られます。A、B、Cの列は、上記のイェーツの順序のセクションにある設計行列の列と同じであることに注意してください。また、交互作用効果の列は、個々の因子の列のドット積を取ることによって生成できることにも注意してください（つまり、列を要素ごとに乗算して、同じ長さの別の列を生成します）。前述のように、実際の効果推定値を得るには、すべての合計を4で割る必要があることに注意してください。この表を使用して、効果推定値は次のように計算されます。
正の値は、その要因の増加が応答率の増加につながることを意味し、負の値は、同じ要因の増加が応答率の低下につながることを意味します。ただし、これらの効果は統計的に有意であるとはまだ判断されておらず、各要因が応答率にそのような影響を与えることが示されているに過ぎません。統計的有意性は、分散分析（ANOVA）などの他の方法によって確認する必要があります。
さらに詳しい情報については、Berger et al.の第9章を参照してください。
最小二乗法によるフィッティングのほとんどの場合、以前に追加された項のモデル係数は、後から追加された項に応じて変化します。たとえば、X 1 の係数は、 X 2項がモデルに含まれているかどうかによって変化する可能性があります。しかし、2 3完全要因計画のように直交設計の場合は、このような変化は起こりません。直交設計では、追加の項が加えられても、以前に含まれていた項の推定値は変化しません。つまり、効果推定値の順位付けリストは、より複雑なモデルに対する最小二乗係数の推定値としても同時に機能します。
上記のイェーツ分析の出力から、イェーツ分析による潜在的なモデルを定義できます。イェーツ分析の重要な要素は、利用可能な潜在的なモデルの中から最適なモデルを選択することです。上記のステップでは、すべての潜在的なモデルが一覧表示されます。この一覧から、最も適切なモデルを選択する必要があります。そのためには、次の2つの目標のバランスを取る必要があります。
要するに、重要な因子と相互作用をすべて含み、重要でない因子と相互作用を除外したモデルを作成したいのです。残差標準偏差だけでは最適なモデルを決定するには不十分であることに注意してください。なぜなら、因子を追加すると必ず減少するからです。そこで、重要な因子を定義するために7つの基準を使用します。これらの7つの基準はすべてが等しく重要であるわけではなく、また同一のサブセットが得られるわけでもありません。その場合は、合意サブセットまたは加重合意サブセットを抽出する必要があります。実際には、これらの基準の一部はすべての状況に適用できない場合があり、アナリストによっては追加の基準を持つ場合もあります。これらの基準は有用なガイドラインとして提示されています。ほとんどのアナリストは、最も有用だと考える基準に焦点を当てるでしょう。
最初の4つの基準は効果量に焦点を当てており、3つの数値基準と1つのグラフ基準が含まれています。5番目の基準は平均値に焦点を当てています。最後の2つの基準はモデルの残差標準偏差に焦点を当てています。暫定的なモデルが選択されたら、誤差項は単変量測定プロセスの仮定に従う必要があります。つまり、残差を分析することによってモデルを検証する必要があります。
アナリストによっては、イェーツの結果をグラフでより分かりやすく示すことを好む場合もあるでしょう。特に、以下のグラフが参考になるかもしれません。
この記事には、米国国立標準技術研究所（NIST）のパブリックドメイン資料が含まれています。
