ウェンデルの定理

幾何学的確率論において、ジェームズ・G・ウェンデルにちなんで名付けられたウェンデルの定理は、次元超球面上に一様にランダムに分布するN個の点がすべて超球面の同じ「半分」に位置する確率を与える。言い換えれば、境界上に原点を持つ半空間があり、そこにN個の点がすべて含まれる確率を求める。ウェンデルの定理によれば、確率は^{[1]である。}${\displaystyle (n-1)}$

${\displaystyle p_{n,N}=2^{-N+1}\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {N-1}{k}}.}$

このステートメントは、原点がN点の凸包に含まれない確率と同等であり、原点を中心に対称なR ⁿ上の任意の確率分布に当てはまります。特に、これには原点を中心に回転不変であるすべての分布が含まれます。 ${\displaystyle p_{n,N}}$

これは本質的に、一般的な位置にある超平面がそれを領域に分割するというシュレーフリの定理の確率的な言い換えである。^[2]${\displaystyle N}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle 2\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {N-1}{k}}}$