ウェルチのt検定

統計学において、ウェルチのt検定、または不等分散t検定は、 2つの母集団の平均が等しいという（帰無）仮説を検定するために使用される2サンプルの位置検定である。考案者であるバーナード・ルイス・ウェルチにちなんで名付けられ、スチューデントのt検定^[1]を改良したもので、2つのサンプルの分散が等しくなく、サンプルサイズもおそらく等しくない場合に、より信頼性が高い。^{[2] [3]}これらの検定は、比較される2つのサンプルの基礎となる統計単位が重複していない場合に通常適用されるため、 「対応のない」または「独立したサンプル」 t検定と呼ばれることが多い。ウェルチのt検定はスチューデントのt検定^[2]ほど人気が​​なく、読者にあまり馴染みがない可能性があることを考えると、よりわかりやすい名前は「ウェルチの不等分散t検定」、または簡潔に「不等分散t検定」である。^[3]

スチューデントのt検定では、比較する2つの母集団の標本平均が正規分布しており、母集団の分散が等しいと仮定します。ウェルチのt検定は、母集団の分散が等しくない場合でも正規性の仮定が維持されるように設計されます。^[1]ウェルチのt検定は、ベーレンス・フィッシャー問題に対する近似解です。

ウェルチのt検定では、統計量t を次の式で定義します。

${\displaystyle t={\frac {\Delta {\overline {X}}}{s_{\Delta {\bar {X}}}}}={\frac {{\overline {X}}_{1}-{\overline {X}}_{2}}{\sqrt {{s_{{\bar {X}}_{1}}^{2}}+{s_{{\bar {X}}_{2}}^{2}}}}}\,}$

${\displaystyle s_{{\bar {X}}_{i}}={s_{i} \over {\sqrt {N_{i}}}}\,}$

ここで、 およびはサンプル平均とその標準誤差、 は修正されたサンプル標準偏差、 およびサンプル サイズを表します。スチューデントのt検定とは異なり、分母はプールされた分散推定値に基づいていません。 ${\displaystyle {\overline {X}}_{i}}$${\displaystyle s_{{\bar {X}}_{i}}}$${\displaystyle i^{\text{th}}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle N_{i}}$

この分散推定値に関連する自由度は、 ウェルチ・サッタースウェイト方程式  を使用して近似されます。^[4]${\displaystyle \nu}$

${\displaystyle \nu \quad \approx \quad {\frac {\left(\;{\frac {s_{1}^{2}}{N_{1}}}\;+\;{\frac {s_{2}^{2}}{N_{2}}}\;\right)^{2}}{\quad {\frac {s_{1}^{4}}{N_{1}^{2}\nu _{1}}}\;+\;{\frac {s_{2}^{4}}{N_{2}^{2}\nu _{2}}}\quad }}.}$

この式は次の場合に簡略化できます。 ${\displaystyle N_{1}=N_{2}}$

${\displaystyle \nu \about {\frac {s_{\Delta {\bar {X}}}^{4}}{\nu _{1}^{-1}s_{{\bar {X}}_ {1}}^{4}+\nu _{2}^{-1}s_{{\bar {X}}_{2}}^{4}}}.}$

ここで、はi番目の分散推定値に関連付けられた自由度です。 ${\displaystyle \nu _{i}=N_{i}-1}$

統計量は、カイ二乗分布の近似値を持っているので、t分布から近似されます。この近似値は、とが両方とも5より大きい場合により適切に実行されます。 ^{[5] [6]}${\displaystyle N_{1}}$${\displaystyle N_{2}}$

tと が計算されると、これらの統計をt分布とともに使用して、2 つの可能な帰無仮説のいずれかを検定できます。 ${\displaystyle \nu}$

• 2つの母平均が等しい場合、両側検定が適用される。
• 母集団の平均の 1 つが他の平均より大きいか等しいことを判定し、片側検定を適用します。

おおよその自由度は実数 であり、統計指向のソフトウェアでは実数として使用されますが、スプレッドシートでは最も近い整数に切り捨てられます。 ${\displaystyle \left(\nu \in \mathbb {R} ^{+}\right)}$

ウェルチのt検定はスチューデントのt検定よりも堅牢で、正規分布の下で不等分散および不等サンプルサイズに対して、タイプIの誤り率を名目値に近い値に維持します。さらに、ウェルチのt検定の検出力は、母集団の分散が等しくサンプルサイズが均衡している場合でも、スチューデントのt検定の検出力に近くなります。 ^[2]ウェルチのt検定は2サンプル以上に一般化でき、^[7]一元配置分散分析（ANOVA） よりも堅牢です。

等分散性を事前に検定してからスチューデントのt検定かウェルチのt検定を選択することは推奨されません。[ ^8]むしろ、ウェルチのt検定は直接適用することができ、上記のようにスチューデントのt検定に重大な欠点はありません。ウェルチのt検定は、歪んだ分布や大きなサンプルサイズに対して堅牢です。^{[9]歪んだ分布や小さなサンプルでは信頼性が低下しますが、ウェルチの}t検定を実行できる可能性があります。^[10]

• スチューデントのt検定
• Z検定
• 要因実験
• 一元配置分散分析
• ホテリングの2標本T二乗統計量、ウェルチのt検定の多変量拡張