ファン・デル・ヴェルデンの定理

まず、区間 1... Iのn彩色がある場合、 kサイズのブロックのブロック彩色を定義できます。各kブロック内のk色の各シーケンスを考慮すれば、一意の色を定義できます。これをkブロック化してn彩色と呼びます。長さlのn彩色をkブロック化すると、長さl/ kのn ^k彩色が得られます。

したがって、サイズが n の区間Iのn彩色を与えられた${\displaystyle M\cdot \operatorname {MinN} (L,1,n^{M}))}$長さnM^の彩色にMブロック化できます${\displaystyle \operatorname {MinN} (L,1,n^{M})}$しかし、 MinNの定義によれば、ブロック彩色の中に長さLの 1 次元の等差数列 (利点付き) を見つけることができます。これは等間隔に配置されたブロックの列で、すべて同じブロック色です。つまり、元の数列には長さMのブロックが多数あり、等間隔に配置され、内部にまったく同じ色のシーケンスがあります。

さて、 Mの定義により、これらのブロックのいずれかに、利点のあるd次元等差数列を見つけることができます。また、すべてのブロックは同じ色のシーケンスを持っているため、ブロック間で変換するだけで、利点のある同じd次元等差数列がすべてのブロックに現れます。これがd  +  1次元等差数列の定義であり、同質のd  +  1次元等差数列が得られます。新しいストライド パラメータs _{D  +  1}は、ブロック間の距離として定義されます。

しかし、メリットが必要です。現在得られる境界はすべて古い境界であり、さらにそれらを同じ色のブロックに変換したものです。なぜなら、i _D+1は常にLより小さいからです。これに当てはまらない唯一の境界は、0 次元の点です。${\displaystyle i_{1}=i_{2}=\cdots =i_{D+1}=L}$これは単一の点であり、自動的に同質性を持つ。

サイズMinN( L , n , n )の区間のn色分けが与えられた場合、定義により、長さLのn次元のメリットを持つ等差数列を見つけることができます。しかし、この場合、「メリット」境界の数は色の数と等しいため、例えばk次元の同次境界の 1 つは、例えばp < k次元の同次メリット境界の 1 つと同じ色でなければなりません。これにより、 k次元境界の内側をp次元境界で終わる線に沿って進み、その終点をp次元境界に含めることで、長さL + 1 の等差数列 (次元 1) を構築できます。数式で表すと次のようになります。    

もし

${\displaystyle a+Ls_{1}+Ls_{2}+\cdots +Ls_{Dk}}$同じ色です

${\displaystyle a+Ls_{1}+Ls_{2}+\cdots +Ls_{Dp}}$

それから

${\displaystyle a+L\cdot (s_{1}+\cdots +s_{Dk})+u\cdot (s_{D-k+1}+\cdots +s_{p})}$同じ色をしている

${\displaystyle u=0,1,2,\cdots ,L-1,L}$つまり、u は長さL + 1のシーケンスを作成する。

これにより次元 1 のシーケンスが構築され、「利点」は自動的に得られ、任意の色の点をもう 1 つ追加するだけです。この境界点を含めるには、ストライドの最大値で間隔を長くする必要がありますが、これは確かに間隔のサイズよりも小さいです。したがって、間隔のサイズを 2 倍にすれば確実に機能し、これが係数 2 の理由です。これでLに関する帰納法が完了します。

各長さについて、${\textstyle N}$長さの等差数列を少なくとも1つ含む分割が少なくとも1つ存在する。${\textstyle N}$これが証明されれば、その等差数列を切り出すことができます。${\textstyle N}$単一要素集合を生成し、このプロセスを繰り返して別の等差数列を作成すると、分割の 1 つには長さの等差数列が無限に多く含まれることになる。${\textstyle N}$そしてこのプロセスを繰り返すと、長さの無限の数列を含む分割が少なくとも1つ存在することがわかります。${\textstyle N}$無限に多くの${\textstyle N}$そして、それが私たちが望むパーティションです。

状態空間を考える${\textstyle \Omega =(1:N)^{\mathbb {Z} }}$これは、距離空間においてコンパクトである（実際には超距離空間である）。$${\displaystyle d((x_{i}),(y_{i}))=\max\{2^{-\vert {i}\vert }:x_{i}\neq y_{i}\}.}$$セットは${\textstyle S_{1},\dots ,S_{n}}$パーティション${\textstyle \mathbb {Z} }$明確なシーケンスがあります${\textstyle z=(\dots ,z_{-1},z_{0},z_{1},\dots )=(z_{i})_{i}}$と${\textstyle i\in S_{z_{i}}}$すべての人々のために${\textstyle i}$。

させて${\textstyle T:\Omega \to \Omega }$シフトマップ$${\displaystyle T((x_{i})_{i})=(x_{i+1})_{i},}$$ そして${\textstyle X=cl(\{T^{r}z:r\in \mathbb {Z} \})}$シーケンスのすべてのシフトの閉包である${\textstyle z}$多重バーコフ再帰定理により（マップの場合）${\textstyle T,T^{2},\dots ,T^{N}}$) 数列が存在する${\textstyle x\in X}$整数${\textstyle s\geq 1}$そのため$${\displaystyle d(T^{s}x,x),d(T^{2s}x,x),\dots ,d(T^{Ns}x,x)<{\frac {1}{4}}.}$$

以来${\textstyle X}$シフトの終了は${\textstyle z}$、 そして${\textstyle T}$連続的であり、シフトが存在する${\textstyle T^{m}z}$同時に、${\textstyle x}$非常に近い${\textstyle T^{m}z}$、 そして${\textstyle T^{s}x}$非常に近い${\textstyle T^{s+m}z}$、 等々：$${\displaystyle d(x,T^{m}z),d(T^{s}x,T^{m+s}z),\dots ,d(T^{Ns}x,T^{m+Ns}z)<{\frac {1}{4}}.}$$

三角不等式により、直ちに次の式が得られる。 ${\textstyle d(T^{m+is}z,T^{m+js}z)<{\frac {3}{4}}}$のために${\textstyle i,j=0,\dots ,N}$しかし、構成上、任意のシーケンスは${\textstyle y,y'\in \Omega }$と${\textstyle d(y,y')<1}$必需品${\textstyle y_{0}={y'}\!\!{}_{0}}$。 したがって${\textstyle z_{m}=z_{m+s}=\dots =z_{m+Ns}}$それで、すべて${\textstyle m,m+s,\dots ,m+Ns}$仕切りに横たわる${\textstyle S_{z_{m}}}$。