宇沢の定理

宇沢の定理は定常成長定理としても知られ、ソロー・スワンとラムゼイ・キャス・クープマンスの成長モデルにおける技術革新の形に関する経済成長理論の定理である。この定理は日本の経済学者宇沢弘文によって初めて証明された。^[1]

この定理の一般的なバージョンは、2つの部分から構成されています。^{[2] [3]}最初の部分は、ソローモデルと新古典派モデルの通常の仮定の下では、（ある時間Tの後）資本、投資、消費、および産出が一定の指数関数的に増加している場合、これらの率は等しくなければならないと述べています。この結果に基づいて、2番目の部分では、そのようなバランスの取れた成長経路内では、生産関数（ここでは技術、は資本、は労働）を書き直すことができ、技術変化は労働のスカラーとしてのみ産出に影響を与える（つまり、労働増加的技術変化またはハロッド中立的技術変化と呼ばれる特性）と主張しています。 ${\displaystyle Y={\チルダ {F}}({\チルダ {A}},K,L)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle K}$${\displaystyle L}$${\displaystyle Y=F(K,AL)}$

宇沢の定理は、一般的に使用されている新古典派モデルとソローモデルの重大な限界を示しています。これらのモデルで均衡成長の仮定を課すには、技術変化が労働増加をもたらすことが必要です。逆に言えば、技術が労働に与える影響をスカラーとして表すことができない生産関数は、均衡成長の経路を生み出すことができません。^[2]

このページ全体を通じて、変数上のドットは時間に関するその微分（つまり）を表します。また、変数の成長率は で表されます。 ${\displaystyle {\dot {X}}(t)\equiv {dX(t) \over dt}}$${\displaystyle X(t)}$${\displaystyle g_{X}\equiv {\frac {{\dot {X}}(t)}{X(t)}}}$

宇沢の定理

（以下のバージョンはAcemoglu（2009）に掲載されており、Schlicht（2006）から改変したものです）

総生産関数 を持つモデル。ここで、 は時点 t における技術を表す（ここで、は自然数 に対する の任意の部分集合）。 は、およびにおいて規模一定収益を示すと仮定する。時点 t における資本の伸びは次のように表される。 ${\displaystyle Y(t)={\tilde {F}}({\tilde {A}}(t),K(t),L(t))}$${\displaystyle {\tilde {F}}:\mathbb {R} _{+}^{2}\times {\mathcal {A}}\to \mathbb {R} _{+}}$${\displaystyle {\tilde {A}}(t)\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle {\tilde {F}}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle L}$

${\displaystyle {\dot {K}}(t)=Y(t)-C(t)-\delta K(t)}$

ここで、は減価償却率、は時刻 t における消費です。 ${\displaystyle \delta }$${\displaystyle C(t)}$

人口が一定の割合で増加し、すべての、、、 に対してとなる時間が存在すると仮定します。すると、 ${\displaystyle L(t)=\exp(nt)L(0)}$${\displaystyle T<\infty }$${\displaystyle t\geq T}$${\displaystyle {\dot {Y}}(t)/Y(t)=g_{Y}>0}$${\displaystyle {\dot {K}}(t)/K(t)=g_{K}>0}$${\displaystyle {\dot {C}}(t)/C(t)=g_{C}>0}$

1. ; および ${\displaystyle g_{Y}=g_{K}=g_{C}}$

2. 2 つの引数について 1 次同次な関数が存在し、任意の に対して、集計生産関数は（および） として表すことができます。 ${\displaystyle F:\mathbb {R} _{+}^{2}\to \mathbb {R} _{+}}$${\displaystyle t\geq T}$${\displaystyle Y(t)=F(K(t),A(t)L(t))}$${\displaystyle A(t)\in \mathbb {R} _{+}}$${\displaystyle g\equiv {\dot {A}}(t)/A(t)=g_{Y}-n}$

任意の定数 に対して、。 ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle g_{X^{\alpha }Y}=\alpha g_{X}+g_{Y}}$

証明: 任意の に対して が成り立つことを観察します。したがって、 です。 ${\displaystyle Z(t)}$${\displaystyle g_{Z}={\frac {{\dot {Z}}(t)}{Z(t)}}={\frac {d\ln Z(t)}{dt}}}$${\displaystyle g_{X^{\alpha }Y}={\frac {d}{dt}}\ln[(X(t))^{\alpha }Y(t)]=\alpha {\frac {d\ln X(t)}{dt}}+{\frac {d\ln Y(t)}{dt}}=\alpha g_{X}+g_{Y}}$

まず、投資の成長率は資本の成長率と等しくなければならないことを示します（すなわち、 ${\displaystyle I(t)=Y(t)-C(t)}$${\displaystyle K(t)}$${\displaystyle g_{I}=g_{K}}$

その時の資源制約は ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\dot {K}}(t)=I(t)-\delta K(t)}$

の定義により、すべての に対して となる。したがって、前の式は ${\displaystyle g_{K}}$${\displaystyle {\dot {K}}(t)=g_{K}K(t)}$${\displaystyle t\geq T}$

${\displaystyle g_{K}+\delta ={\frac {I(t)}{K(t)}}}$

全ての に対してである。左辺は定数であるが、右辺は で増加する（補題1より）。したがって、そして ${\displaystyle t\geq T}$${\displaystyle g_{I}-g_{K}}$${\displaystyle 0=g_{I}-g_{K}}$

${\displaystyle g_{I}=g_{K}}$。

閉鎖経済の国民所得計算によれば、経済における最終財は消費されるか投資されるかのどちらかであり、したがってすべての${\displaystyle t}$

${\displaystyle Y(t)=C(t)+I(t)}$

時間に関して微分すると

${\displaystyle {\dot {Y}}(t)={\dot {C}}(t)+{\dot {I}}(t)}$

両辺を利回り で割ると${\displaystyle Y(t)}$

${\displaystyle {\frac {{\dot {Y}}(t)}{Y(t)}}={\frac {{\dot {C}}(t)}{Y(t)}}+{\frac {{\dot {I}}(t)}{Y(t)}}={\frac {{\dot {C}}(t)}{C(t)}}{\frac {C(t)}{Y(t)}}+{\frac {{\dot {I}}(t)}{I(t)}}{\frac {I(t)}{Y(t)}}}$

${\displaystyle \Rightarrow g_{Y}=g_{C}{\frac {C(t)}{Y(t)}}+g_{I}{\frac {I(t)}{Y(t)}}=g_{C}{\frac {C(t)}{Y(t)}}+g_{I}(1-{\frac {C(t)}{Y(t)}})=(g_{C}-g_{I}){\frac {C(t)}{Y(t)}}+g_{I}}$

と は定数なので、は定数です。したがって、 の成長率はゼロです。補題1により、 ${\displaystyle g_{Y},g_{C}}$${\displaystyle g_{I}}$${\displaystyle {\frac {C(t)}{Y(t)}}}$${\displaystyle {\frac {C(t)}{Y(t)}}}$

${\displaystyle g_{c}-g_{Y}=0}$

同様に、. したがって、. ${\displaystyle g_{Y}=g_{I}}$${\displaystyle g_{Y}=g_{C}=g_{K}}$

次に、任意の に対して、生産関数は労働増強技術によって 1 つとして表せることを示します。 ${\displaystyle t\geq T}$

時刻における生産関数は ${\displaystyle T}$

${\displaystyle Y(T)={\tilde {F}}({\tilde {A}}(T),K(T),L(T))}$

生産の規模一定収穫逓減性（はおよびにおいて1次同次）は、任意のに対して、前の式の両辺にを掛けると、 ${\displaystyle {\tilde {F}}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle L}$${\displaystyle t\geq T}$${\displaystyle {\frac {Y(t)}{Y(T)}}}$

${\displaystyle Y(T){\frac {Y(t)}{Y(T)}}={\tilde {F}}({\tilde {A}}(T),K(T){\frac {Y(t)}{Y(T)}},L(T){\frac {Y(t)}{Y(T)}})}$

（このステップの証明については微分方程式の解法を参照）であることに注意してください。したがって、上記の式は次のように書き直すことができます。 ${\displaystyle {\frac {Y(t)}{Y(T)}}={\frac {K(t)}{K(T)}}}$${\displaystyle g_{Y}=g_{K}}$

${\displaystyle Y(t)={\tilde {F}}({\tilde {A}}(T),K(t),L(T){\frac {Y(t)}{Y(T)}})}$

任意の に対して、定義する ${\displaystyle t\geq T}$

${\displaystyle A(t)\equiv {\frac {Y(t)}{L(t)}}{\frac {L(T)}{Y(T)}}}$

そして

${\displaystyle F(K(t),A(t)L(t))\equiv {\tilde {F}}({\tilde {A}}(T),K(t),L(t)A(t))}$

2つの式を組み合わせると、

${\displaystyle F(K(t),A(t)L(t))={\tilde {F}}({\tilde {A}}(T),K(t),L(T){\frac {Y(t)}{Y(T)}})=Y(t)}$いずれの場合も。${\displaystyle t\geq T}$

構築により、は2 つの引数において 1 次同次でもあります。${\displaystyle F(K,AL)}$

さらに、補題1により、の成長率は次のように与えられる。 ${\displaystyle A(t)}$

${\displaystyle {\frac {{\dot {A}}(t)}{A(t)}}={\frac {{\dot {Y}}(t)}{Y(t)}}-{\frac {{\dot {L}}(t)}{L(t)}}=g_{Y}-n}$。${\displaystyle \blacksquare }$