タッパーの自己言及式

タッパーの自己参照式は、 ( x , y ) 平面の​​特定の位置にグラフ化したときに、その式自体を視覚的に表現する式です。

この式はジェフ・タッパーによって定義され、信頼性の高い2次元コンピュータグラフ作成アルゴリズムに関するタッパーの2001年のSIGGRAPH論文に例として掲載されています。 ^[1]この論文では、タッパーが開発したGrafEq式グラフ作成プログラムに関連する方法について説明しています。^[2]

この式は「自己参照的」と呼ばれているが、タッパーはそう名付けたわけではない。^[3]

この式は次のように定義される不等式です。

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}}\left\lfloor \mathrm {mod} \left(\left\lfloor {\frac {y}{17}}\right\rfloor 2^{-17\lfloor x\rfloor -\mathrm {mod} \left(\lfloor y\rfloor ,17\right)},2\right)\right\rfloor }$$ ここで は床関数を表し、 mod はモジュロ演算を表します。 ${\displaystyle \lfloor \dots \rfloor }$

次の 543 桁の整数と等しく なります。${\displaystyle k}$

960  939  379  918  958  884  971  672  962  127  852  754  715  004  339  660  129  306  651  505  519  271  702  802  395  266  424  689  642  842  4  350  718 121 267  153 782 770 623 355 993 237 280 874 144 307 891 325 963 941 337 723 487 857 735 749 823 926 629 715 517 173 716 995 165 232 890 538 221 612 403 238 855 866 184 013 235 585 136 048 828 693 337 902 491 454 229 288 667 081 6 184 496 091 705 183 454 067 827 731 551 705 405 381 627 380 967 602 565 625 016 981 482 083 418 783 163 849 115 590 225 610 003 652 351 370 343 874 461 848 378 737 238 198 224 849 863 465 033 159 410 054 974 700 593 138 339 226 497 249 461 1 545 728 366 702 369 745 461 014 655 997 933 798 537 483 143 786 841 806 593 422 227 898 388 722 980 000 748 404 719                                                                                                                                                   

およびの式を満たす点の集合をグラフ化すると、次のプロットが得られる。^{[注 1]}${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle 0\leq x<106}$${\displaystyle k\leq y<k+17}$

この式は、定数 に格納されたビットマップをデコードする汎用的な方法であり、他の任意のイメージを描画するために使用できます。無限の正の範囲 に適用すると、この式は、平面の垂直帯を、考えられるすべての 17 ピクセルの高さのビットマップを含むパターンでタイル状に並べます。この無限のビットマップの 1 つの水平スライスは、描画式自体を表しますが、これは注目に値しません。他のスライスは、17 ピクセルの高さのビットマップに収まる可能性のある他のすべての式を表します。Tupper は、1 つのスライスを除くすべてのスライスを除外する、元の式の拡張バージョンを作成しました。^[4]${\displaystyle k}$${\displaystyle 0\leq y}$

定数は、2 進数として扱われ、17 倍された式の単純なモノクロビットマップ イメージです。を 17 で割ると、最下位ビットは右上隅をエンコードし、最下位 17 ビットはピクセルの右端の列をエンコードし、次の最下位 17 ビットは右から 2 番目の列をエンコードし、以下同様に続きます。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle (k,0)}$

これは基本的に、2次元の表面に点をプロットする方法を説明しています。 の値は、プロットを形成する2進数の数字です。次のプロットは、 の異なる値の追加を示しています。4番目のサブプロットでは、「AFGP」と「Aesthetic Function Graph」のk値が加算されて結果のグラフが得られますが、バイナリ加算の影響により、両方のテキストが多少歪んで見えます。プロットの形状に関する情報は に格納されています。^[5]${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

• ビットマップ – コンピューティング用語
• 基本関数 – 数学関数
• クワイン（コンピューティング）  – 自己複製プログラム
• 再帰 – 自己相似的に項目を繰り返すプロセス
• 奇妙なループ – 階層システム内の複数のレベルを通過する循環構造

• ジェフ・タッパーの公式サイト
• タッパーの自己言及式の拡張
• ロゼッタコードにおけるタッパーの自己参照式、いくつかのプログラミング言語での実装
• TupperPlot、JavaScript での実装
• Tupper 自己参照式、Python での実装
• バベルの図書館関数、タッパーの自己参照式の仕組みの詳細な説明
• Tupper の Formula Tools、JavaScript での実装
• 原点に近づくトラヴニクの公式
• 公式を説明するビデオ