トリゲヌス

低次元位相幾何学において、閉じた3 次元多様体の三種数は、順序付けられた 3 つ組から成る不変量です。これは、3 つの向き付け可能なハンドル体の種数を最小化することによって得られます。ハンドル体の内部には交差がなく、これにより、 Heegaard種数が 2 つだけ必要になるまで多様体が分解されます。 ${\displaystyle (g_{1},g_{2},g_{3})}$

つまり、 の分解であり 、は の種数です。 ${\displaystyle M=V_{1}\cup V_{2}\cup V_{3}}$${\displaystyle {\rm {int}}V_{i}\cap {\rm {int}}V_{j}=\varnothing }$${\displaystyle i,j=1,2,3}$${\displaystyle g_{i}}$${\displaystyle V_{i}}$

有向空間の場合、はHeegaard 種数です。 ${\displaystyle {\rm {trig}}(M)=(0,0,h)}$${\displaystyle h}$${\displaystyle M}$

非向き付け空間では、 は、 ボックスタイン準同型による第一スティフェル・ホイットニー特性類 の像に依存した形を持ち 、それぞれ ${\displaystyle {\rm {三角}}}$${\displaystyle {\rm {trig}}(M)=(0,g_{2},g_{3})\quad {\mbox{or}}\quad (1,g_{2},g_{3})}$ ${\displaystyle w_{1}}$${\displaystyle \beta (w_{1})=0\quad {\mbox{or}}\quad \neq 0.}$

数は、スティフェル・ホイットニー面の概念、つまり に埋め込まれ、最小種数を持ち、双対写像 の下で最初のスティフェル・ホイットニー類、つまり を表す有向面と関係があることが証明されています。のとき、 であり、 のとき 、です。 ${\displaystyle g_{2}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle D\colon H^{1}(M;{\mathbb {Z} }_{2})\to H_{2}(M;{\mathbb {Z} }_{2}),}$${\displaystyle Dw_{1}(M)=[G]}$${\displaystyle \beta (w_{1})=0\,}$${\displaystyle {\rm {trig}}(M)=(0,2g,g_{3})\,}$${\displaystyle \beta (w_{1})\neq 0.\,}$${\displaystyle {\rm {trig}}(M)=(1,2g-1,g_{3})\,}$

多様体SがM内のシュティーフェル・ホイットニー面となるためには、 SとM−int(N(S))が向き付け可能である必要がある。

• JC Gómez Larrañaga、W. Heil、VM Núñez. Stiefel–Whitney 面と 3 次元多様体のハンドルボディへの分解、Topology Appl. 60 (1994)、267–280。
• JCゴメス・ララニャガ、W・ハイル、VMヌニェス。Stiefel–Whitney 曲面と方向付け不可能な 3 多様体の三属、Manuscripta Math。 100 (1999)、405–422。
• 「上の曲面バンドルの三種について」、2005 年、Soc. Mat. Mex. | pdf${\displaystyle S^{1}}$