テイラー分散

テイラー分散またはテイラー拡散は、小規模での強く制限されたゼロ平均せん断流の存在により、大規模で生じるスカラー場の見かけの拡散または有効拡散である。本質的に、せん断は流れの方向の濃度分布をぼかすように作用し、その方向への拡散速度を高める。^{[1] [2] [3]この効果は、大きな}ペクレ数でのせん断誘起分散を説明した英国の流体力学者GI テイラーにちなんで名付けられました。この解析は後に、ラザフォード・アリスによってペクレ数の任意の値に対して一般化されました。この分散プロセスは、テイラー・アリス分散と呼ばれることもあります。

標準的な例は、 無流束境界条件を持つ均一な円形パイプを通る 均一なポアズイユ流れにおける単純な拡散種の例です。

z を軸座標、r を半径座標として使用し、軸対称であると仮定します。パイプの半径はaで、流体の速度は次のようになります。

${\displaystyle {\boldsymbol {u}}=w{\hat {\boldsymbol {z}}}=w_{0}(1-r^{2}/a^{2}){\hat {\boldsymbol { z}}}}$

拡散種の濃度は c で表され、その拡散係数 はDです。濃度は線形移流拡散方程式によって支配されると仮定します。

${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}+{\boldsymbol {w}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}c=D\nabla ^{2}c}$

濃度と速度は、断面平均（オーバーバーで示される）と偏差（プライムで示される）の合計として表されます。

${\displaystyle w(r)={\bar {w}}+w'(r)}$

${\displaystyle c(r,z)={\bar {c}}(z)+c'(r,z)}$

いくつかの仮定（下記参照）の下では、平均量だけを含む方程式を導くことが可能です。

${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {c}}}{\partial t}}+{\bar {w}}{\frac {\partial {\bar {c}}}{\partial z}}=D\left(1+{\frac {a^{2}{\bar {w}}^{2}}{48D^{2}}}\right){\frac {\partial ^{2}{\bar {c}}}{\partial z^{2}}}}$

有効拡散率に右側の導関数を掛けると、拡散係数 D の元の値よりも大きくなることに注意してください。有効拡散率は次のように表されることが多いです。

${\displaystyle D_{\mathrm {eff} }=D\left(1+{\frac {{\mathit {Pe}}^{2}}{48}}\right)\,,}$

ここで、 はチャネル半径 に基づくペクレ数です。興味深い結果は、ペクレ数が大きい場合、有効拡散率は分子拡散率に反比例することです。したがって、テイラー分散の影響は、ペクレ数が高いほど顕著になります。 ${\displaystyle {\mathit {Pe}}=a{\bar {w}}/D}$${\displaystyle a}$

平均速度で動くフレームでは、つまりを導入することで、分散過程は純粋な拡散過程となり、 ${\displaystyle \xi =z-{\bar {w}}t}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {c}}}{\partial t}}=D_{\mathrm {eff} }{\frac {\partial ^{2}{\bar {c}}}{\partial \xi ^{2}}}}$

拡散率は有効拡散率によって与えられます。

仮定は が与えられた場合であり、これは 方向の長さスケールが 方向の勾配を滑らかにするのに十分な長さである場合に当てはまります。これは、 方向の長さスケールが次を満たすという要件に変換できます。 ${\displaystyle c'\ll {\bar {c}}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle z}$${\displaystyle r}$${\displaystyle L}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle L\gg {\frac {a^{2}}{D}}{\bar {w}}=a{\mathit {Pe}}}$。

分散はチャネル形状の関数でもあります。興味深い現象の 1 つは、2 つの無限の平板と無限に薄い長方形のチャネルの間の流れの分散が約 8.75 倍異なることです。ここでは、長方形のチャネルの非常に小さな側壁が分散に大きな影響を与えます。

より一般的な状況では正確な式は成立しませんが、メカニズムは依然として適用され、その効果はペクレ数が高いほど強くなります。テイラー分散は、ダルシーの法則によってモデル化された多孔質媒体内の流れに特に関連しています。^[4]

平均法を使ってテイラー方程式を導くことができます。これはアリスが初めて導入したものです。結果は、より直感的に明らかな、長時間漸近法から導くこともできます。次元座標系 で、半径 のパイプの中を流れる完全に発達したポアズイユ流を考えます。ここでは流体の平均速度です。任意の分布を持つ濃度の種が、時刻 にパイプ内のどこかで放出されます。この初期分布がコンパクトである限り、たとえば種/溶質が有限の濃度レベルでどこにでも放出されるわけではない限り、種は平均速度 でパイプに沿って対流します。平均速度 で移動し、次の無次元スケールでスケーリングされたフレームでは、 ${\displaystyle (x',r',\theta )}$${\displaystyle u=2U[1-(r'/a)^{2}]}$${\displaystyle a}$${\displaystyle U}$${\displaystyle c}$${\displaystyle t'=0}$${\displaystyle U}$

${\displaystyle t={\frac {t'}{a^{2}/D}},\quad x={\frac {x'-Ut'}{a}},\quad r={\frac {r'}{a}},\quad Pe={\frac {Ua}{D}}}$

ここで、は種が半径方向に拡散するのに必要な時間、は種の拡散係数、はペクレ数であり、支配方程式は次のように与えられる。 ${\displaystyle a^{2}/D}$${\displaystyle D}$${\displaystyle ペ}$

${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}+Pe(1-2r^{2}){\frac {\partial c}{\partial x}}={\frac {\partial ^{2}c}{\partial x^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial c}{\partial r}}\right).}$

したがって、この移動フレームでは、（次元変数では、）種は放射状に拡散することがあります。したがって、（次元変数では、）のとき、種は依然として 方向に拡散していますが、放射方向の拡散によってパイプ全体の濃度が均一になることは明らかです。テイラー分散は、 が大きい場合のこの軸方向の拡散プロセスを定量化します。 ${\displaystyle t\sim 1}$${\displaystyle t'\sim a^{2}/D}$${\displaystyle t\gg 1}$${\displaystyle t'\gg a^{2}/D}$${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$

（すなわち、半径方向拡散時間 と比較して 倍大きい）と仮定する。ここで は小さい数である。すると、これらの時間では、濃度は軸方向 の範囲に広がる。長時間の挙動を定量化するために、次の再スケーリングを行う^[5]。${\displaystyle t\sim 1/\epsilon \gg 1}$${\displaystyle a^{2}/D}$${\displaystyle \epsilon \ll 1}$${\displaystyle x\sim {\sqrt {t}}\sim {\sqrt {1/\epsilon }}\gg 1}$

${\displaystyle \tau =\epsilon t,\quad \xi ={\sqrt {\epsilon }}x}$

を導入することができる。すると方程式は次のようになる。

${\displaystyle \epsilon {\frac {\partial c}{\partial \tau}}+{\sqrt {\epsilon }}Pe(1-2r^{2}){\frac {\partial c}{\partial \xi}}=\epsilon {\frac {\partial ^{2}c}{\partial \xi ^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial c}{\partial r}}\right).}$

パイプの壁が化学種を吸収したり反応したりしない場合は、境界条件は で満たされる必要があります。対称性により、では です。 ${\displaystyle \partial c/\partial r=0}$${\displaystyle r=1}$${\displaystyle \partial c/\partial r=0}$${\displaystyle r=0}$

なので、解は漸近級数に展開することができ、この級数を支配方程式に代入し、異なる次数の項を集めると、方程式の級数が得られる。主要次数では、得られる方程式は次のようになる。 ${\displaystyle \epsilon \ll 1}$${\displaystyle c=c_{0}+{\sqrt {\epsilon }}c_{1}+\epsilon c_{2}+\cdots }$

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial c_{0}}{\partial r}}\right)=0.}$

この方程式を前に定義した境界条件と積分すると、 がわかります。この次数では、はまだ未知の関数です。が に依存しないという事実は、すでに述べたように、 の場合には最初に放射状拡散が支配的になり、パイプ全体の濃度が均一になるため、予想される結果です。 ${\displaystyle c_{0}=c_{0}(\xi ,\tau )}$${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle t'\gg a^{2}/D}$

順序の条件は次の式を導く ${\displaystyle {\sqrt {\epsilon }}}$

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial c_{1}}{\partial r}}\right)=Pe(1-2r^{2}){\frac {\partial c_{0}}{\partial \xi }}.}$

この方程式を境界条件を用いて積分すると次のようになる。 ${\displaystyle r}$

${\displaystyle c_{1}(\xi ,r,\tau )=c_{1a}(\xi ,\tau )+{\frac {Pe}{8}}(2r^{2}-r^{4}){\frac {\partial c_{0}}{\partial \xi }}}$

ここで は、この次数における未知の関数 におけるの値です。${\displaystyle c_{1a}}$${\displaystyle c_{1}}$${\displaystyle r=0}$

順序の条件は次の式を導く ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial c_{2}}{\partial r}}\right)=Pe(1-2r^{2}){\frac {\partial c_{1}}{\partial \xi }}+{\frac {\partial c_{0}}{\partial \tau }}-{\frac {\partial ^{2}c_{0}}{\partial \xi ^{2}}}.}$

この方程式は について積分することもできるが、必要なのは上式の可解条件である。可解条件は上式に を掛け、方程式全体を から まで積分することで得られる。これは上式を半径方向に平均化することと同じである。境界条件と前の2つの順序で得られた結果を使用すると、可解条件は次のようになる。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle 2rdr}$${\displaystyle r=0}$${\displaystyle r=1}$

${\displaystyle {\frac {\partial c_{0}}{\partial \tau }}=\left(1+{\frac {Pe^{2}}{48}}\right){\frac {\partial ^{2}c_{0}}{\partial \xi ^{2}}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial c_{0}}{\partial t}}=\left(1+{\frac {Pe^{2}}{48}}\right){\frac {\partial ^{2}c_{0}}{\partial x^{2}}}.}$

これが必要な拡散方程式です。実験室のフレームと次元変数に戻ると、方程式は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {\partial c_{0}}{\partial t'}}+U{\frac {\partial c_{0}}{\partial x'}}=D\left(1+{\frac {U^{2}a^{2}}{48D^{2}}}\right){\frac {\partial ^{2}c_{0}}{\partial x'^{2}}}.}$

この式が導かれる方法から、長さスケール（より正確にはスケール ）にわたって大きく変化する において、これがに対して有効であることがわかります。同時に、平均流とともに移動する場所、たとえば の周りの任意の小さな長さスケール、つまり長さスケール では、濃度は とは独立ではなくなり、次のように表されます。${\displaystyle t'\gg a^{2}/D}$${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle x'\gg a}$${\displaystyle x\sim {\sqrt {Dt'}})}$${\displaystyle t'\gg a^{2}/D}$${\displaystyle x'-Ut'=x_{s}'-Ut'}$${\displaystyle x'-x_{s}'\sim a}$${\displaystyle r}$${\displaystyle c=c_{0}+{\sqrt {\epsilon }}c_{1}.}$

得られた方程式を2次積分すると、

${\displaystyle c_{2}(\xi ,\tau )=c_{2a}(\xi ,\tau )+{\frac {Pe}{4}}\left(r^{2}-{\frac {r^{4}}{2}}\right){\frac {\partial c_{1a}}{\partial \xi }}+{\frac {Pe^{2}}{32}}\left({\frac {r^{2}}{6}}+{\frac {r^{4}}{2}}-{\frac {5r^{6}}{8}}+{\frac {r^{8}}{8}}\right){\frac {\partial ^{2}c_{0}}{\partial \xi ^{2}}}}$

この順序では不明です。 ${\displaystyle c_{2a}(\xi ,\tau )}$

注文条件をまとめると、 ${\displaystyle \epsilon {\sqrt {\epsilon }}}$

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial c_{3}}{\partial r}}\right)=Pe(1-2r^{2}){\frac {\partial c_{2}}{\partial \xi }}+{\frac {\partial c_{1}}{\partial \tau }}-{\frac {\partial ^{2}c_{1}}{\partial \xi ^{2}}}.}$

上記の式の可解条件から、次の 式が得られる。${\displaystyle c_{1a}(\xi ,\tau )}$

${\displaystyle {\frac {\partial c_{1a}}{\partial \tau }}-\left(1+{\frac {Pe^{2}}{48}}\right){\frac {\partial ^{2}c_{1a}}{\partial \xi ^{2}}}=-{\frac {Pe^{3}}{2880}}{\frac {\partial ^{3}c_{0}}{\partial \xi ^{3}}}.}$

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• Frankel, I.; Brenner, H. (1989). 「一般化テイラー分散理論の基礎について」. Journal of Fluid Mechanics . 204 : 97. Bibcode :1989JFM...204...97F. doi :10.1017/S0022112089001679. S2CID  123719494.
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• Brenner, H. (1980). 「空間的に周期的な多孔質媒体を通る流れから生じる分散」. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Series A. 297 ( 1430): 81–133. Bibcode :1980RSPTA.297...81B. doi :10.1098/rsta.1980.0205. S2CID  121853893.
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