テイト方程式

流体力学において、テイト方程式は液体の密度と静水圧を関係付けるために使用される状態方程式である。この方程式は、1888年にピーター・ガスリー・テイトによって^[1]の形式で最初に発表された。

${\displaystyle {\frac {V_{0}-V}{PV_{0}}}={\frac {A}{\Pi +P}}}$

ここで、は大気圧に加えられた静水圧、は大気圧での体積、は追加圧力下での体積、およびは実験的に決定されたパラメータです。2つのパラメータとに対する物理的な解釈を伴うTait方程式の非常に詳細な歴史的研究は、参考文献に記載されています。^[2]${\displaystyle P}$${\displaystyle V_{0}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle P}$${\displaystyle A,\Pi }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \Pi}$

1895年に^{[3] [4]} 、元の等温Tait方程式はTammannによって次の式に置き換えられました。

${\displaystyle {K}=-{V_{0}}\left({\frac {\partial P}{\partial V}}\right)_{T}={V_{0}}{\frac {(B+P)}{C}}}$

ここで、は等温混合体積弾性率である。この式は一般にTait式として知られている。積分形は一般に次のように表記される。 ${\displaystyle K}$

${\displaystyle V=V_{0}-C\log \left({\frac {B+P}{B+P_{0}}}\right)}$

どこ

• ${\displaystyle V\}$物質の比容積（単位はml / gまたはm ³ /kg）
• ${\displaystyle V_{0}}$比容積は${\displaystyle P=P_{0}}$
• ${\displaystyle B\}$( と同じ単位)および( と同じ単位)は温度の関数である${\displaystyle P_{0}}$${\displaystyle C\}$${\displaystyle V_{0}}$

圧力を比容積で表すと次のようになる。

${\displaystyle P=(B+P_{0})\exp \left(-{\frac {V-V_{0}}{C}}\right)-B\,.}$

2 つの経験的パラメータと の物理的解釈を伴う Tait-Tammann 状態方程式に関する非常に詳細な研究は、参考文献の第 3 章に記載されています。^[2] 2 つの経験的パラメータと の温度の関数としての式は、臨界温度までの液相全体における水、海水、ヘリウム 4、ヘリウム 3 について示されています。水の過冷却相の特殊なケースについては、参考文献の付録 D で説明されています。^[5]三重点温度から 148 K の間の液体アルゴンのケースについては、参考文献の第 6 節で詳細に説明されています。^[6]${\displaystyle C}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle B}$${\displaystyle T_{c}}$

^{もう一つの一般的な等温状態方程式は「テイト方程式」 [7] [8]}と呼ばれ、マーナガンモデル^[9]で、次のように表現されることもある。

${\displaystyle {\frac {V}{V_{0}}}=\left[1+{\frac {n}{K_{0}}}\,(P-P_{0})\right]^{-1/n}}$

ここで、 は圧力 での比容積、は圧力 での比容積、は での体積弾性率、 は材料パラメータです。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle P}$${\displaystyle V_{0}}$${\displaystyle P_{0}}$${\displaystyle K_{0}}$${\displaystyle P_{0}}$${\displaystyle n}$

この式は圧力形式で次のように表される。

${\displaystyle P={\frac {K_{0}}{n}}\left[\left({\frac {V_{0}}{V}}\right)^{n}-1\right]+P_{0}={\frac {K_{0}}{n}}\left[\left({\frac {\rho }{\rho _{0}}}\right)^{n}-1\right]+P_{0}.}$

ここで、 はそれぞれにおける質量密度です。純水の場合、典型的なパラメータは= 101,325 Pa、= 1000 kg/cu.m、= 2.15 GPa、= 7.15 です。^{[引用が必要]}${\displaystyle \rho ,\rho _{0}}$${\displaystyle P,P_{0}}$${\displaystyle P_{0}}$${\displaystyle \rho_{0}}$${\displaystyle K_{0}}$${\displaystyle n}$

この形式の Tate 状態方程式はMurnaghan 状態方程式と同一であることに注意してください。

マクドナルド・テイトモデルによって予測される接線体積弾性率は

${\displaystyle K=K_{0}\left({\frac {V_{0}}{V}}\right)^{n}\,.}$

液体をモデル化するために使用できる関連する状態方程式は、トゥムリルツ方程式（タマン方程式とも呼ばれ、もともとは1909年にトゥムリルツ、1911年にタマンが純水について提案した）である。^{[4] [10]} この関係式は次の形式をとる。

${\displaystyle V(P,S,T)=V_{\infty }-K_{1}S+{\frac {\lambda }{P_{0}+K_{2}S+P}}}$

ここで、は比容積、は圧力、は塩分濃度、は温度、 はのときの比容積、 および は実験データに適合させることができるパラメータです。 ${\displaystyle V(P,S,T)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle V_{\infty}}$${\displaystyle P=\infty }$${\displaystyle K_{1}、K_{2}、P_{0}}$

淡水に対するテイト方程式のトゥムリルツ・タマン版、すなわち のとき、 ${\displaystyle S=0}$

${\displaystyle V=V_{\infty }+{\frac {\lambda }{P_{0}+P}}\,.}$

純水の場合、の温度依存性は次の通りである。^[10]${\displaystyle V_{\infty },\lambda ,P_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda &=1788.316+21.55053\,T-0.4695911\,T^{2}+3.096363\times 10^{-3}\,T^{3}-0.7341182\times 10^{-5}\,T^{4}\\P_{0}&=5918.499+58.05267\,T-1.1253317\,T^{2}+6.6123869\times 10^{-3}\,T^{3}-1.4661625\times 10^{-5}\,T^{4}\\V_{\infty }&=0.6980547-0.7435626\times 10^{-3}\,T+0.3704258\times 10^{-4}\,T^{2}-0.6315724\times 10^{-6}\,T^{3}\\&+0.9829576\times 10^{-8}\,T^{4}-0.1197269\times 10^{-9}\,T^{5}+0.1005461\times 10^{-11}\,T^{6}\\&-0.5437898\times 10^{-14}\,T^{7}+0.169946\times 10^{-16}\,T^{8}-0.2295063\times 10^{-19}\,T^{9}\end{aligned}}}$

上記のフィットでは、温度は摂氏、はバール、は cc/gm、はバール-cc/gm で表されます。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle P_{0}}$${\displaystyle V_{\infty }}$${\displaystyle \lambda }$

圧力と比容積の逆トゥムリルツ・タマン・テイト関係は、

${\displaystyle P={\frac {\lambda }{V-V_{\infty }}}-P_{0}\,.}$

純水の瞬間体積弾性率に対するトゥムリルツ・タマン・テイトの式は、次の2次関数である（別の式については^[4]を参照）。 ${\displaystyle P}$

${\displaystyle K=-V\,{\frac {\partial P}{\partial V}}={\frac {V\,\lambda }{(V-V_{\infty })^{2}}}=(P_{0}+P)+{\frac {V_{\infty }}{\lambda }}(P_{0}+P)^{2}\,.}$

特に水中爆発、特に放出される衝撃波の研究を受けて、JGカークウッドは1965年に^[11]、等エントロピー圧縮率係数を次のように表すことにより、高圧（>1kbar）を記述するより適切な状態方程式を提案した。

${\displaystyle -{\frac {1}{V}}\left({\frac {\partial V}{\partial P}}\right)_{S}={\frac {1}{n(B+P)}}}$

ここで はエントロピーを表します。2つの経験的パラメータと は、エントロピーの関数となり、 ${\displaystyle S}$${\displaystyle n}$${\displaystyle B}$

• ${\displaystyle n\ }$無次元である
• ${\displaystyle B\ }$同じ単位を持つ${\displaystyle P}$

積分により、等エントロピー方向の体積について次の式が得られる。${\displaystyle V(P,S)}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle {\frac {V}{V_{0}}}=\left(1+{\frac {P_{0}}{B}}\right)^{1/n}\left(1+{\frac {P}{B}}\right)^{-1/n}}$

どこ。 ${\displaystyle V_{0}=V(P_{0},S)}$

等エントロピーに沿った比容積による圧力の表現は、 ${\displaystyle P(V,S)}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle P=(B+P_{0})\,\left({\cfrac {V_{0}}{V}}\right)^{n}-B\,.}$

2つの経験的パラメータとに対する物理的な解釈を伴う修正Tait状態方程式に関する非常に詳細な研究は、参考文献の第4章に記載されています。^[2] 2つの経験的パラメータとに対するエントロピーの関数としての表現は、水、ヘリウム3、ヘリウム4について示されています。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle B}$${\displaystyle n}$${\displaystyle B}$

• 状態方程式