実現（システム）

システム理論では、状態空間モデルの実現とは、与えられた入出力動作の実装である。つまり、入出力関係が与えられた場合、実現とは次のような （時間変動）行列の4つ組である。 ${\displaystyle [A(t),B(t),C(t),D(t)]}$

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t)}$

時刻 におけるシステムの入力と出力を記述します。 ${\displaystyle (u(t),y(t))}$${\displaystyle t}$

伝達行列 、によって指定される線形時間不変システムの場合、実現はとなる任意の 4 重行列です。 ${\displaystyle H(s)}$${\displaystyle (A,B,C,D)}$${\displaystyle H(s)=C(sI-A)^{-1}B+D}$

厳密に適切な任意の伝達関数は、次のアプローチによって簡単に状態空間に転送できます (この例は 4 次元、単一入力、単一出力システム用です)。

伝達関数が与えられたら、それを展開して分子と分母の両方のすべての係数を明らかにします。結果は次の形式になります。

${\displaystyle H(s)={\frac {n_{3}s^{3}+n_{2}s^{2}+n_{1}s+n_{0}}{s^{4}+d_{3}s^{3}+d_{2}s^{2}+d_{1}s+d_{0}}}}$。

次のアプローチにより、係数を状態空間モデルに直接挿入できるようになりました。

${\displaystyle {\dot {\textbf {x}}}(t)={\begin{bmatrix}-d_{3}&-d_{2}&-d_{1}&-d_{0}\\1&0&0&0 \\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)+{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\\\end{bmatrix}}{\textbf {u}}(t)}$

${\displaystyle {\textbf {y}}(t)={\begin{bmatrix}n_{3}&n_{2}&n_{1}&n_{0}\end{bmatrix}}{\textbf {x}}( t)}$。

この状態空間実現は、結果として得られるモデルが制御可能であることが保証されているため（つまり、制御が積分器のチェーンに入るため、すべての状態を移動できる）、 制御可能標準形式（位相変数標準形式とも呼ばれる）と呼ばれます。

伝達関数の係数は、別の種類の標準形を構築するためにも使用できる。

${\displaystyle {\dot {\textbf {x}}}(t)={\begin{bmatrix}-d_{3}&1&0&0\\-d_{2}&0&1&0\\-d_{1}&0&0&1\\-d_ {0}&0&0&0\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)+{\begin{bmatrix}n_{3}\\n_{2}\\n_{1}\\n_{0}\end{bmatrix}}{\textbf {u}}( t)}$

${\displaystyle {\textbf {y}}(t)={\begin{bmatrix}1&0&0&0\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)}$。

この状態空間実現は、結果として得られるモデルが観測可能であることが保証されているため、観測可能標準形式と呼ばれます(つまり、出力が積分器のチェーンから出力されるため、すべての状態が出力に影響を与えます)。

入力、出力、重み付けパターンがある場合、実現は任意の3つの行列であり、は実現に関連付けられた状態遷移行列です。 ^[1]${\displaystyle u(t)}$${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle T(t,\sigma )}$${\displaystyle [A(t),B(t),C(t)]}$${\displaystyle T(t,\sigma )=C(t)\phi (t,\sigma )B(\sigma )}$${\displaystyle \phi}$

システム識別技術は、システムから実験データを取得し、実現結果を出力します。このような技術は、入力データと出力データの両方を利用することも (例:固有システム実現アルゴリズム)、出力データのみを含めることもできます (例:周波数領域分解)。通常、入出力技術の方が正確ですが、入力データが常に利用できるとは限りません。

• グレーボックスモデル
• 統計モデル
• システム識別