平均絶対誤差

統計学において、平均絶対誤差（MAE ）は、同じ現象を表す一対の観測値間の誤差の尺度です。YとXの比較の例には、予測値と観測値、後続の時刻と最初の時刻、1つの測定手法と別の測定手法の比較などがあります。MAEは、絶対誤差の合計（マンハッタン距離）をサンプルサイズで割って計算されます。^[1]したがって、MAEは絶対誤差の算術平均であり、 は予測値と真の値です。別の定式化では、相対頻度を重み係数として含める場合があります。平均絶対誤差は、測定されるデータと同じスケールを使用します。これはスケール依存の精度尺度として知られており、したがって、異なるスケールを使用する予測値の比較には使用できません。^{[2]平均絶対誤差は、}時系列分析における予測誤差の一般的な尺度です。^[3]平均絶対偏差のより標準的な定義と混同されることがあります。同じ混同は、より一般的に存在します。 $${\displaystyle \mathrm {MAE} ={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left|y_{i}-x_{i}\right|}{n}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left|e_{i}\right|}{n}}.}$$${\displaystyle |e_{i}|=|y_{i}-x_{i}|}$${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$

リモートセンシングでは、MAEは量の不一致と割り当ての不一致という2つの要素の合計として表現されることがあります。量の不一致は平均誤差の絶対値です。^[4]割り当ての不一致はMAEから量の不​​一致を引いたものです。 $${\displaystyle \left|{\frac {\sum _{i=1}^{n}y_{i}-x_{i}}{n}}\right|.}$$

プロットを見ることで差異の種類を識別することもできます。数量差異は、X値の平均がY値の平均と等しくない場合に発生します。配分差異は、点が恒等線の両側にある場合にのみ発生します。^{[4] [5]}${\displaystyle (x,y)}$

平均絶対誤差は、予測と最終的な結果を比較する方法の 1 つです。確立された代替方法としては、平均絶対スケール誤差(MASE)、平均絶対対数誤差 (MALE)、平均二乗誤差などがあります。これらはすべて、予測の過大または過小の方向を無視してパフォーマンスを要約します。この点に重点を置く尺度は、平均符号差です。

選択されたパフォーマンス指標を使用して予測モデルを適合する場合、最小二乗法は平均二乗誤差に関連し、平均絶対誤差に相当するのは最小絶対偏差です。

MAE は、一部の研究者がそのように報告および解釈していますが、二乗平均平方根誤差(RMSE)と同じではありません。MAE は概念的に単純で、RMSE よりも解釈も簡単です。MAE は、散布図の各点と Y=X 線の間の垂直または水平の絶対距離の平均です。言い換えると、MAE は X と Y の間の絶対差の平均です。さらに、各エラーは、エラーの絶対値に比例して MAE に寄与します。これは、差を二乗する RMSE とは対照的であり、そのため、いくつかの大きな差があると、RMSE が MAE よりも大幅に増加します。^[4]

実変数cのランダム変数Xに対する平均絶対誤差は、 Xの確率分布が上記の期待値が存在するようなものである場合、mがXの中央値となるのは、m がXに対する平均絶対誤差の最小値となる場合のみです。^[6]特に、m がサンプル中央値となるのは、 m が絶対偏差の算術平均を最小化する場合に限ります。 ^[7] $${\displaystyle E(\left|X-c\right|).}$$

より一般的には、中央値は、多変量中央値（具体的には空間中央値）で説明されているように、 の最小値として定義されます。中央値のこの最適化ベースの定義は、 k中央値クラスタリングなどの統計データ分析に役立ちます。 $${\displaystyle E(|X-c|-|X|),}$$

ステートメント: を最小化する分類器は です。 ${\displaystyle \mathbb {E} |y-{\hat {y}}|}$${\displaystyle {\hat {f}}(x)={\text{Median}}(y|X=x)}$

証拠：

分類の損失関数は、 aに関して微分すると次のようになります。したがって、$${\displaystyle {\begin{aligned}L&=\mathbb {E} [|y-a||X=x]\\&=\int _{-\infty }^{\infty }|y-a|f_{Y|X}(y)\,dy\\&=\int _{-\infty }^{a}(a-y)f_{Y|X}(y)\,dy+\int _{a}^{\infty }(y-a)f_{Y|X}(y)\,dy.\\\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial a}}L=\int _{-\infty }^{a}f_{Y|X}(y)\,dy+\int _{a}^{\infty }-f_{Y|X}(y)\,dy=0.}$$$${\displaystyle \int _{-\infty }^{a}f(y)\,dy=\int _{a}^{\infty }f(y)\,dy.}$$$${\displaystyle F_{Y|X}(a)=0.5.}$$

• 最小絶対偏差
• マンハッタン距離
• 平均絶対パーセント誤差
• 平均パーセンテージ誤差
• 対称平均絶対パーセント誤差