部分空間識別方法

数学、特に制御理論において、部分空間同定（SID）は、入出力データから線形時不変（LTI）状態空間モデルを同定することを目的としています。SIDでは、パラメトリック最適化問題を解く前にシステム行列をパラメータ化する必要がないため、SID手法は、しばしば不十分な同定結果につながる局所最適解に関連する問題に悩まされることはありません。

SID法は、ドイツの数学者レオポルド・クロネッカー（1823～1891）の研究に端を発している。クロネッカー^{[ 1 ]}は、べき級数を記号とするハンケル演算子のランクが有限であれば、べき級数を有理関数として表すことができることを示した。ランクは、有理関数の多項式の次数を決定する。

1960年代、クロネッカーの研究は、ホーとカルマン、シルバーマンとユーラとティッシなど、システムと制御の分野の多くの研究者に影響を与え、LTIシステムのマルコフパラメータを有限次元のハンケル行列に格納し、この行列からLTIシステムの(A,B,C)実現を導出しました。重要な観察は、ハンケル行列がLTIシステムの次数に対して適切に次元化されている場合、ハンケル行列のランクはLTIシステムの次数であり、ハンケル行列のSVDはLTIシステムの列空間可観測性行列と行空間可制御性行列の基底を提供するということです。これらの重要な空間を知ることで、線形最小二乗法によってシステム行列を推定することができます。^{[ 2 ]}

白色雑音によって駆動されるLTIシステムの出力の自己相関（共分散）関数のみがわかっている場合の確率的実現問題の拡張は、赤池などの研究者によって導出された。^{[ 3 ]}

1985年から1995年の10年間、SID法の第2世代は、LTIシステムの入出力測定値に直接SID法を適用しようと試みました。そのような一般化の1つが、インパルス入力を考慮した特定の入出力測定値を使用する固有システム実現アルゴリズム（ERA）という名前で発表されました。 ^{[ 4 ]}これは、橋梁や宇宙構造物などの柔軟な構造物のモード解析に使用されてきました。これらの方法は、共振構造物に対しては実際に機能することが実証されていますが、他のタイプのシステムやインパルスとは異なる入力にはうまく機能しませんでした。SID法の開発に対する新たな推進力は、汎用入出力データに直接適用し、システム行列を実現する前にマルコフパラメータを明示的に計算したり、共分散関数のサンプルを推定したりすることを回避することになりました。これらのブレークスルーに貢献した先駆者には、N4SID アプローチを導入した Van Overschee と De Moor ^{[ 5 ]} 、 MOESP アプローチを導入した Verhaegen ^{[ 6 ]}、および正準変数分析 (CVA) の枠組みで ST を提示した Larimore ^{[ 7 ]がいます。}