スタンレーの相互性定理

組合せ 数学において、MIT の数学者リチャード・P・スタンレーにちなんで名付けられたスタンレーの相互定理は、特定の関数方程式が任意の有理円錐 (以下に定義) の生成関数と円錐内部の生成関数によって満たされることを述べています。

有理錐はすべてのd組の集合である。

( a ₁、 ...、a _d )

不等式を満たす非負整数

${\displaystyle M\left[{\begin{matrix}a_{1}\\\vdots \\a_{d}\end{matrix}}\right]\geq \left[{\begin{matrix}0\\\vdots \\0\end{matrix}}\right]}$

ここで、M は整数の行列です。対応する厳密な不等式を満たすd組、つまり「≥」ではなく「>」を満たす組は、円錐の 内部にあります。

このような円錐の生成関数は

${\displaystyle F(x_{1},\dots ,x_{d})=\sum _{(a_{1},\dots ,a_{d})\in {\rm {cone}}}x_{1}^{a_{1}}\cdots x_{d}^{a_{d}}.}$

円錐内部の生成関数F _int ( x ₁ , ..., x _d ) も同様に定義されますが、円錐全体ではなく内部の d組を合計します。

これらは有理関数であることが示せます。

スタンレーの相互定理によれば、上記のような有理円錐に対して、^[1]

${\displaystyle F(1/x_{1},\dots ,1/x_{d})=(-1)^{d}F_{\rm int}}(x_{1},\dots ,x_{d}).}$

マティアス・ベックとマイク・デベリンは留数計算を使ってこれを証明する方法を説明した。^[2]

スタンレーの相互性定理は、有理凸多面体のエールハルト多項式に対するエールハルト・マクドナルド相互性定理を一般化します。

• エアハルト多項式