ゾンマーフェルト数

流体軸受の設計において、ゾンマーフェルト数( S ) は流体潤滑解析で広く使用される無次元量です。ゾンマーフェルト数には、設計者が通常指定するすべての変数が含まれているため、潤滑解析では非常に重要です。

ゾンマーフェルト番号は、アーノルド・ゾンマーフェルト(1868 ～ 1951 年) にちなんで命名されました。

ゾンマーフェルト数は通常、次の式で定義されます。^[1]

${\displaystyle \mathrm {S} =\left({\frac {r}{c}}\right)^{2}{\frac {\mu N}{P}}}$

どこ：

Sはゾンマーフェルト数または軸受特性数である。

rはシャフトの半径です

cはラジアルクリアランス

μは潤滑剤の絶対粘度である

Nは回転軸の速度（回転/秒）です。

Pは投影支持面積あたりの荷重である。

式の2番目の部分はハーシー数であると思われる。しかし、角速度に基づいたいくつかの文献ではSの別の定義が使われている: ^[2]

${\displaystyle \mathrm {S} =\left({\frac {r}{c}}\right)^{2}{\frac {\mu \mathbb {N} }{P}}=\left({\frac {r}{c}}\right)^{2}{\frac {\mu \omega LD}{W}}}$

どこ：

${\displaystyle \omega}$シャフトの角速度（rad/s）です。

Wは適用される荷重

Lはベアリングの長さです

Dはベアリングの直径です

したがって、S の値は 2π 倍異なるため、設計データや教科書を参照する際には、どの定義が使用されているかを確認する必要があります。

ニコライ・パブロビッチ・ペトロフの潤滑解析法は、同心シャフトとベアリングを前提とし、ベアリング 摩擦現象を初めて説明した。この方法は、最終的にペトロフの法則（またはペトロフの法則）として知られる方程式を生み出し、関連する無次元パラメータのグループを定義し、シャフトが同心でない場合でもかなり正確な摩擦係数を予測するため有用である。 ^[3]

ベアリング内部で回転する垂直シャフトを考えると、ベアリングにかかる​​荷重は無視でき、ラジアルクリアランス空間は潤滑剤で完全に満たされ、漏れは無視できると想定できます。シャフトの表面速度は、Nがシャフトの回転速度 (回転/秒) です。 ${\displaystyle U=2\pi rN}$

潤滑剤のせん断応力は次のように表すことができます。

${\displaystyle \tau =\mu \left.{\frac {\partial u}{\partial y}}\right|_{y=0}}$

せん断速度が一定であると仮定すると、

${\displaystyle \tau =\mu {\frac {U}{h}}={\frac {2\pi r\mu N}{c}}}$

フィルムを剪断するために必要な トルクは

${\displaystyle T=\left(\tau A\right)\left(r\right)=\left({\frac {2\pi r\mu N}{c}}\right)\left(2\pi rl\right)\left(r\right)={\frac {4\pi ^{2}r^{3}l\mu N}{c}}}$

小さなラジアル荷重W がシャフト、つまりベアリングに作用する場合、摩擦抵抗力は積fWに等しいとみなされ、摩擦トルクは次のように表される。

${\displaystyle T=fWr​​=2r^{2}flP}$

どこ

Wはベアリングに作用する力である

Pは、プロジェクトの支持面積あたりのラジアル荷重（圧力）です。

fは摩擦係数である

小さなラジアル荷重Wが無視できるとみなされる場合、トルクの2つの式を互いに等しく設定し、摩擦係数を解くと、次の式が得られます。

${\displaystyle f=2\pi ^{2}{\frac {\mu N}{P}}{\frac {r}{c}}}$

これはペトロフの法則またはペトロフ方程式として知られています。これは、軽負荷ベアリングの摩擦係数の妥当な推定値を迅速かつ簡単に得る手段を提供します。

Shigley, Joseph Edward; Mischke, Charles R. (1989).機械工学設計. ニューヨーク: McGraw-Hill.

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