サマーズのD

統計学において、サマーズD（サマーズDと誤って呼ばれることもある）は、2つのおそらく従属するランダム変数XとYの間の順序的な関連性の尺度である。サマーズDは、すべての変数のペアが一致しないときとすべての変数のペアが一致したときの間の値を取る。サマーズDは、1962年に提案したロバート・H・サマーズにちなんで名付けられた。^[1]${\displaystyle -1}$${\displaystyle 1}$

サマーズのDは順位統計において中心的な役割を果たし、多くのノンパラメトリック手法の背後にあるパラメータです。^[2]また、二分選択回帰や順序回帰（ロジスティック回帰など）や信用スコアリングモデルの品質指標としても使用されます。

2 つのペアと が一致すると判断するのは、両方の要素の順位が一致する場合、またはおよび の場合、またはおよびの場合です。2 つのペアと が不一致であると判断するのは、両方の要素の順位が不一致である場合、または および の場合、またはおよびの場合です。または の場合、ペアは一致も不一致もありません。 ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$${\displaystyle (x_{j},y_{j})}$${\displaystyle x_{i}>x_{j}}$${\displaystyle y_{i}>y_{j}}$${\displaystyle x_{i}$${\displaystyle y_{i}$${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$${\displaystyle (x_{j},y_{j})}$${\displaystyle x_{i}>x_{j}}$${\displaystyle y_{i}$${\displaystyle x_{i}$${\displaystyle y_{i}>y_{j}}$${\displaystyle x_{i}=x_{j}}$${\displaystyle y_{i}=y_{j}}$

2つの依存する可能性のあるランダムベクトルXとYの観測値の集合があるとします。ケンドールのタウ順位相関係数を次のように 定義します。${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),\ldots ,(x_{n},y_{n})}$ ${\displaystyle \tau}$

${\displaystyle \tau ={\frac {N_{C}-N_{D}}{n(n-1)/2}},}$

ここで、は一致するペアの数、 は一致しないペアの数です。YのXに関するSomers のD はと定義されます。^{[2] Kendall の tau は}XとYで対称ですが、 Somers のD はXとYで非対称であることに注意してください。 ${\displaystyle N_{C}}$${\displaystyle N_{D}}$${\displaystyle D_{YX}=\タウ (X,Y)/\タウ (X,X)}$

は、等しくないX値を持つペアの数を定量化しますが、Somers のD は、一致するペアと一致しないペアの数の差を、ペア内のX値が等しくないペアの数で割ったものです。 ${\displaystyle \tau (X,X)}$

2つの独立した2変量ランダム変数とが同じ確率分布を持つとします。ここでも、ランダム変数XとYの順序関係を測定するサマーズのDは、ケンドールのタウによって定義できます。${\displaystyle (X_{1},Y_{1})}$${\displaystyle (X_{2},Y_{2})}$${\displaystyle \operatorname {P} _{XY}}$${\displaystyle \operatorname {P} _{XY}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau (X,Y)&=\operatorname {E} {\Bigl (}\operatorname {sgn}(X_{1}-X_{2})\operatorname {sgn}( Y_{1}-Y_{2}){\Bigr )}\\&=\オペレーター名 {P} {\Bigr (}\オペレーター名{sgn}(X_{1}-X_{2})\operatorname {sgn}(Y_{1}-Y_{2})=1{\Bigr )}-\operatorname {P} {\Bigl (}\operatorname {sgn}(X_{1}-X_{2})\オペレーター名 {sgn}(Y_{1}-Y_{2})=-1{\Bigr )},\\\end{整列}}}$

または、一致確率と一致しない確率の差です。YのXに関するSomers のD はと定義されます。したがって、 は、X の値が等しくないことを条件とする、2 つの対応する確率の差です。 X が連続確率分布を持つ場合、およびKendall の tau と Somers のD は一致します。 Somers のD は、変数Xの可能な質量点の Kendall の tau を正規化します。 ${\displaystyle D_{YX}=\タウ (X,Y)/\タウ (X,X)}$${\displaystyle D_{YX}}$${\displaystyle \tau (X,X)=1}$

XとY が両方とも 0 と 1 の値を持つバイナリである場合、Somers のD は2 つの確率の差です。

${\displaystyle D_{YX}=\operatorname {P} (Y=1\mid X=1)-\operatorname {P} (Y=1\mid X=0).}$

実際には、サマーズのDは従属変数 Yがバイナリ変数である場合に最もよく使用されます^[2] 。つまり、計量経済学におけるバイナリ選択モデルを含むバイナリ分類やバイナリ結果の予測のために使用されます。このようなモデルを適合させる方法には、ロジスティック回帰やプロビット回帰などがあります。

このようなモデルの品質を定量化するために、受信者操作特性（ROC）曲線の下の面積、グッドマンとクラスカルのガンマ、ケンドールのタウ（Tau-a）、サマーズのDなどのいくつかの統計を使用できます。サマーズのDは、利用可能な順序関連統計の中でおそらく最も広く使用されています。^[3]ジニ係数と同様に、サマーズのDは受信者操作特性曲線の下の面積（AUC）に関連しています。^[2]

${\displaystyle \mathrm {AUC} ={\frac {D_{XY}+1}{2}}}$。

独立変数（予測変数） Xが離散的であり、従属変数（結果変数）Yが2値の場合、サマーズのDは

${\displaystyle D_{XY}={\frac {N_{C}-N_{D}}{N_{C}+N_{D}+N_{T}}},}$

ここで、 は、変数Xでは同点だが変数Yでは同点である、一致でも不一致でもないペアの数です。 ${\displaystyle N_{T}}$

独立変数（予測変数）Xが3つの値を取ると仮定します。0.25、0.5、または0.75、従属変数（結果変数）Yは2つの値を取る。0または1 . 以下の表には、XとYの観測された組み合わせが含まれています。

一致するペアの数は

${\displaystyle N_{C}=3\times 7+3\times 6+5\times 6=69.}$

一致しないペアの数は

${\displaystyle N_{D}=1\times 5+1\times 2+7\times 2=21.}$

同点のペアの数は、一致するペアと一致しないペアを除いたペアの総数に等しい。

${\displaystyle N_{T}=(3+5+2)\times (1+7+6)-69-21=50}$

したがって、サマーズのDは

${\displaystyle D_{XY}={\frac {69-21}{69+21+50}}\approx 0.34.}$