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平滑化問題（統計学、画像処理、その他の文脈における平滑化とは混同しないように）は、時間経過とともに増加する入力測定値を使用して、未知の確率密度関数を再帰的に推定する問題です。これは、 Norbert Wienerによって定義された主要な問題の 1 つです。[ 1 ] [ 2 ]スムーザーは、この問題の解を実装するアルゴリズムであり、通常は再帰的ベイズ推定に基づいています。平滑化問題はフィルタリング問題と密接に関連しており、どちらもベイズ平滑化理論で研究されています。
平滑化処理は、多くの場合、順方向パスと逆方向パスからなる2段階の処理です。進行中のプロセス（ミサイルの追跡など）について、受信する観測データに基づいて推定（予測/逆予測）を行うことを考えてみましょう。新しい観測データが到着すると、過去に関する推定値を更新して、現在までの推定経路全体のより滑らかな（より正確な）推定値を得る必要があります（新しい観測データを考慮に入れます）。逆方向パス（逆予測）がない場合、オンラインフィルタリングアルゴリズムにおける予測のシーケンスは滑らかに見えません。言い換えれば、遡及的に見ると、将来の観測データが利用可能になった時点で、過去の時点の推定値を改善するために将来の観測データを使用しているようなものです。推定の時点（利用可能な観測データを決定する時点）は、予測の対象となる時点（つまり、予測/逆予測の対象となる時点）とは異なる場合があることに注意してください。後の時点の観測データは、前の時点の推定値を更新して改善するために使用できます。そうすることで、経路全体についてより滑らかな推定値（逆予測）が得られます。
いくつかのバリエーションには以下が含まれます: [ 3 ]
平滑化とフィルタリングという用語は、最初は混乱を招く可能性のある4つの概念に使用されます。平滑化（推定と畳み込みの2つの意味）、およびフィルタリング（これも推定と畳み込みの2つの意味）です。
平滑化（推定）と平滑化（畳み込み）は、英語では同じ名称で呼ばれていますが、実際には全く異なる数学的手法を指す場合があります。それぞれが解決しようとする問題の要件も異なります。これらの概念は、文脈（信号処理と確率過程の推定）によって区別されます。
この混乱の歴史的な理由は、当初ウィーナーが提案した「平滑化」フィルタが単なる畳み込みだったことにある。その後、より滑らかな推定値を得るための彼の提案は、発展を2つの異なる概念に分けた。1つは過去の観測値を考慮してより滑らかな推定値を得ることであり、もう1つはフィルタ設計（畳み込みフィルタの設計）を用いた平滑化である。
平滑化問題（推定という意味で）とフィルタリング問題（推定という意味で）は、他の文脈（特に非確率的信号処理において、さまざまなタイプの畳み込みを指すことが多い）での平滑化やフィルタリングと混同されることが多い。これらの名称は、第二次世界大戦の文脈で、ノーバート・ウィーナーのような人々によって提起された問題で使用されている。[ 1 ] [ 2 ]混乱の原因の1つは、ウィーナーフィルタが単純な畳み込みの形をしていることである。しかし、ウィーナーフィルタでは、2つの時系列が与えられている。フィルタが定義されると、単純な畳み込みが答えとなる。しかし、カルマンフィルタリングなどの後の発展では、フィルタリングの性質は畳み込みとは異なり、別の名前が正当化される。
この区別は、以下の2つの意味で説明される。
1. 畳み込み：畳み込みによる平滑化はより単純です。例えば、移動平均、ローパスフィルタリング、カーネルを用いた畳み込み、画像処理におけるラプラスフィルタを用いたぼかしなどが挙げられます。これはしばしばフィルタ設計の問題となります。特に、隠れ変数を持たない非確率的かつ非ベイズ的な信号処理において重要です。
2. 推定: 平滑化問題 (または推定の意味での平滑化) は、隠れた状態変数を推定するためにベイズモデルと状態空間モデルを使用します。これは、第二次世界大戦の文脈で、ノーバート・ウィーナーのような人々によって定義され、(確率的)制御理論、レーダー、信号検出、追跡などで使用されています。最も一般的な使用法は、実際にはラウフによって開発されたカルマンフィルタで使用されるカルマン平滑化器です。この手順はカルマン・ラウフ再帰と呼ばれます。これは、ノーバート・ウィーナーによって解決された主要な問題の 1 つです。[ 1 ] [ 2 ] 最も重要なのは、フィルタリング問題 (意味 2) では、現在のサンプルまでの観測からの情報が使用されます。平滑化 (これも意味 2) では、(将来の) すべての観測サンプルが使用されます。フィルタリングは因果的ですが、平滑化は同じ問題、つまり、連続的な増分観測に基づく時系列プロセスの推定のバッチ処理です。
しかし、通常より一般的な平滑化とフィルタリング（1.の意味での）には、隠れた情報と観測可能な情報の区別がないため、そのような区別はありません。
平滑化（推定）とフィルタリング（推定）の違い：平滑化では、（将来の）すべての観測サンプルが使用されます。フィルタリングは因果関係に基づく処理であるのに対し、平滑化は与えられたデータのバッチ処理です。フィルタリングは、連続的に増加する観測に基づいて、（隠れた）時系列プロセスを推定するものです。
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