シンプレックスノイズ

シンプレックスノイズは、パーリンノイズ（「古典的な」ノイズ）に匹敵するn次元ノイズ関数の結果ですが、方向性アーティファクトが少なく、高次元で、計算オーバーヘッドが低くなります。 ケンパーリンは、特に高次元での古典的なノイズ関数の制限に対処するために、 2001年にアルゴリズムを設計しました^[1]。

パーリン ノイズに対するシンプレックス ノイズの利点:

• シンプレックス ノイズは計算の複雑さが低く、必要な乗算も少なくなります。
• シンプレックスノイズは、計算コストを大幅に削減しながら高次元（4D、5D）に拡張できます。計算量は、従来のノイズではなく次元に対して計算されます。^[2]${\displaystyle O(n^{2})}$${\displaystyle n}$${\displaystyle O(n\,2^{n})}$
• シンプレックスノイズには目立った方向性アーティファクトがありません（視覚的に等方性です）が、異なる次元で生成されたノイズは視覚的に異なります（たとえば、2Dノイズは3Dノイズの2Dスライスとは見た目が異なり、高次元になるほど見た目が悪くなります^[3]）。
• シンプレックス ノイズには、(ほぼ) あらゆる場所で明確に定義された連続的な勾配があり、非常に安価に計算できます。
• シンプレックス ノイズはハードウェアで簡単に実装できます。

古典的なノイズは周囲のハイパーグリッドの端点（2D では北東、北西、南東、南西^{[引用が必要]}）の勾配の間を補間しますが、単体ノイズは空間を単体（つまり、次元の三角形）に分割します。これにより、データ ポイントの数が削減されます。次元のハイパーキューブにはコーナーがありますが、次元の単体にはコーナーしかありません。 2D では三角形は正三角形ですが、高次元では単体はほぼ正三角形になります。たとえば、関数の 3D の場合のタイリングは、正方二蝶形ハニカムの方向です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n+1}$

単体ノイズは、ノイズが通常 2、3、4、または 5 次元にわたって計算されるコンピュータ グラフィックス アプリケーションに役立ちます。高次元の場合、n単体コーナーの周囲のn球は十分に密集していないため、関数のサポートが減少し、空間の大部分でゼロになります。

単体ノイズは、2 次元、3 次元、または 4 次元関数として実装されるのが最も一般的ですが、任意の数の次元に対して定義できます。実装には通常、座標スキューイング、単体細分化、勾配選択、カーネル合計の 4 つの手順が含まれます。

入力座標は次の式で変換される。

${\displaystyle x'=x+(x+y+\cdots )\cdot F,}$

${\displaystyle y'=y+(x+y+\cdots )\cdot F,}$

${\displaystyle \cdots ,}$

どこ

${\displaystyle F={\frac {{\sqrt {n+1}}-1}{n}}.}$

これは座標をAに配置する効果があります^*
_いいえ格子は本質的には、超立方体ハニカムの頂点配置であり、その主対角線に沿って圧縮され、点 (0, 0, ..., 0) と点 (1, 1, ..., 1) の間の距離が点 (0, 0, ..., 0) と点 (1, 0, ..., 0) の間の距離に等しくなります。

結果として得られる座標 ( x ' , y ' , ...) は、入力点がどの歪んだ単位超立方体セル内にあるか ( x _b ' = floor( x ' ), y _b ' = floor( y ' ), ...) とその内部座標 ( x _i ' = x ' − x _b ' , y _i ' = y ' − y _b ' , ...) を決定するために使用されます。

上記が決定したら、内部座標 ( x _i '、y _i '、...) の値が降順でソートされ、点がどの歪んだSchläfli 正方座標単体にあるかが決定されます。次に、結果として得られる単体は、(0, 0, ..., 0) から (1, 1, ..., 1) への順序付けられたエッジ トラバーサルに対応する頂点で構成されます。これにはn ! 通りの可能性があり、それぞれが座標の単一の順列に対応します。つまり、ゼロ座標から始めて、内部座標の最大値に対応する値から始めて、最小値で終わるように 1 を加算していきます。

たとえば、点 (0.4, 0.5, 0.3) は、頂点 (0, 0, 0)、(0, 1, 0)、(1, 1, 0)、(1, 1, 1) を持つ単体の中にあります。y i ' 座標は最も大きいため、最初に追加されます。次に x _i '座標_が続き、最後にz _i ' が続きます。

各単体頂点は、歪んだハイパーキューブのベース座標に加算され、疑似ランダム勾配方向にハッシュされます。ハッシュはさまざまな方法で実装できますが、最もよく使用されるのは順列テーブルまたはビット操作スキームです。

方向性アーティファクトを最小限に抑えるために、含めるグラデーション セットの選択には注意が必要です。

単体のn + 1個の頂点からの寄与は、 各頂点を中心とする放射対称カーネルの合計によって計算されます。まず、各頂点の非スキュー座標は、逆の式を使用して決定されます。

${\displaystyle x=x'-(x'+y'+\cdots )\cdot G,}$

${\displaystyle y=y'-(x'+y'+\cdots )\cdot G,}$

${\displaystyle \cdots ,}$

どこ

${\displaystyle G={\frac {1-1/{\sqrt {n+1}}}{n}}.}$

この点は入力座標から減算され、歪んでいない変位ベクトルを取得します。この歪んでいない変位ベクトルは、次の 2 つの目的で使用されます。

• ドット積を使用して外挿された勾配値を計算します。
• 点までの二乗距離d ²を決定します。

そこから、各頂点の合計カーネル寄与は、次の式を使用して決定されます。

${\displaystyle {\big (}\max(0,r^{2}-d^{2}){\big )}^{4}\cdot {\big (}\langle \Delta x,\Delta y,\dots \rangle \cdot \langle \operatorname {grad} x,\operatorname {grad} y,\dots \rangle {\big )},}$

ここで、r ²は通常 0.5 または 0.6 に設定されます。値 0.5 は不連続性がないことを保証しますが、0.6 は不連続性が目立たないアプリケーションで視覚品質を向上させる可能性があります。Ken Perlin の元のリファレンス実装では 0.6 が使用されました。

テクスチャ画像合成のための3D 以上の実装の使用は、アルゴリズムが特許請求の範囲のいずれかに記載されている特定の技術を使用して実装されている場合、米国特許 6,867,776でカバーされていましたが、この特許請求の範囲は 2022 年 1 月 8 日に期限切れとなりました。

• OpenSimplex ノイズ
• 等方性

• Stefan Gustavson によるソースコード付きの短い技術記事 (PDF)
• Perlin のアニメーション「ゴムシート」シンプレックスノイズデモ
• C++ での Simplex Noise の別の実装 (SimplexNoise1234)