シェパードの問題

数学において、シェパードの問題は、 1964年にジェフリー・コリン・シェパードによって提起された次の幾何学的問題である：KとLがn次元ユークリッド空間の中心対称凸体であり、 KとLが超平面に投影されるたびに、Kの投影の体積がLの投影の体積よりも小さくなる場合、 Kの体積はLの体積よりも小さくなるか？^[1]

この場合、「中心対称」とは、Kの原点における反射−KがKの平行移動であることを意味し、Lについても同様である。π _k  :  R ⁿ  → Π _kがR ⁿのk次元超平面Π _k (必ずしも座標超平面ではない)への射影であり、 V _{k が}k次元の体積を表す場合、シェパードの問題は、含意の真偽を決定することである。

${\displaystyle V_{k}(\pi _{k}(K))\leq V_{k}(\pi _{k}(L)){\mbox{ すべての}}1\leq k<nに対してV_{n}(K)\leq V_{n}(L)が成立する。}$

V _k ( π _k ( K )) はKの明るさとも呼ばれ、関数V _k o π _{k は}( k次元)明るさ関数とも呼ばれます。   

n = 1 および 2次元では 、シェパードの問題に対する答えは「はい」です。しかし、1967 年にペティとシュナイダーは、n  ≥ 3 の場合には答えが「いいえ」であることを示しました。 ^{[2] [3]}シェパードの問題を解くには、凸体のミンコフスキーの第 1 不等式と凸体の射影体の概念が必要です。

• ブゼマン・ペティ問題

• ガードナー、リチャード J. (2002)。「ブルン・ミンコフスキー不等式」。アメリカ数学会報。新シリーズ。39 ( 3): 355–405 (電子版)。doi : 10.1090 /S0273-0979-02-00941-2。
• Petty, Clinton M. (1967)。「投影体」。凸性に関するコロキウムの議事録 (コペンハーゲン、1965 年)。コペンハーゲン大学材料研究所、コペンハーゲン。pp. 234–241。MR 0216369  。

• ロルフ・シュナイダー（1967年）。 「Zur einem 問題 von Shephard über die Projektionen konvexer Körper」。Mathematische Zeitschrift (ドイツ語)。101：71～82。土井: 10.1007/BF01135693。
• シェパード、GC (1964)、「凸集合のシャドウシステム」、イスラエル数学ジャーナル、2 (4): 229–236、doi : 10.1007/BF02759738、ISSN  0021-2172、MR  0179686