シャピロ不等式

数学において、シャピロの不等式は1954年にハロルド・S・シャピロによって提唱された不等式である。 ^[1]

nが自然数で、x ₁、x ₂、…、x _nが正の数であるとします。

• nは偶数かつ12以下、または
• n は奇数であり、 23以下です。

すると、シャピロの不等式は次のように表される。

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{x_{i+1}+x_{i+2}}}\geq {\frac {n}{2}},}$

ここでx _{n +1} = x ₁かつx _{n +2} = x _2です。n = 3の特殊なケースはネスビットの不等式です。

nの値が大きくなると不等式は成立しなくなり、厳密な下限はγ ⁠ん/2⁠ γ ≈ 0.9891… （ OEISの配列A245330）。

重要なケースであるn = 12 ^[2]とn = 23 ^[3]における不等式の初期の証明は数値計算に依存していた。2002年にPJ BushellとJB McLeodはn = 12の解析的証明を発表した 。^[4]

γの値は1971 年にVladimir Drinfeldによって決定されました。具体的には、厳密な下限γ はψ (0)で与えられることを証明しました。ここで関数 ψはf ( x ) = e ^{− x}およびg ( x ) = 2 / ( e ^x + e ^{x /2} )の凸包です。(つまり、ψのグラフ上の領域は、 fとgのグラフ上の領域の和集合の凸包です。) ^{[5] [6]}

左辺の内部極小値は常にn / 2以上である。^[7]

最初の反例は1956年にライトヒルによってn = 20のときに発見されました: ^[8]

${\displaystyle x_{20}=(1+5\epsilon,\ 6\epsilon,\ 1+4\epsilon,\ 5\epsilon,\ 1+3\epsilon,\ 4\epsilon,\ 1+2\epsilon,\ 3\epsilon,\ 1+\epsilon,\ 2\epsilon,\ 1+2\epsilon,\ \epsilon,\ 1+3\epsilon,\ 2\epsilon,\ 1+4\epsilon,\ 3\epsilon,\ 1+5\epsilon,\ 4\epsilon,\ 1+6\epsilon,\ 5\epsilon),}$

ここで は0 に近いです。すると左辺は に等しくなり、 が十分に小さい ときは 10 より小さくなります。${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle 10-\epsilon ^{2}+O(\epsilon ^{3})}$${\displaystyle \epsilon }$

n = 14の次の反例はTroesch (1985) によるものです。

${\displaystyle x_{14}=(0,42,2,42,4,41,5,39,4,38,2,38,0,40)}$（トロッシュ、1985年）

• Fink, AM (1998)。「シャピロの不等式」。Gradimir V. Milovanović, GV (編)。不等式の最近の進歩。Dragoslav S. Mitrinović 教授に捧げる。数学とその応用 (ドルドレヒト)。第 430 巻。ドルドレヒト: Kluwer Academic Publishers。pp. 241–248。ISBN 0-7923-4845-1.ZBL0895.26001  。​

• 1999 年の Usenet での議論 (Dave Rusin のメモ)
• プラネットマス