正規半代数システム

コンピュータ代数では、正則半代数システムは、実閉体上の多変数多項式の特定の種類の三角システムです。

正則連鎖と三角分解は、多項式システムの複雑な解を記述するための基本的でよく発達したツールです。正則半代数システムの概念は、実際の類似物である半代数システムの解に焦点を当てた正則連鎖の概念の適応です。

任意の半代数系は有限個の正規半代数系に分解することができ、その場合、点（実座標）は系の1つの解である場合に限り、の解となる。^[1]${\displaystyle S}$${\displaystyle S_{1},\ldots ,S_{e}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S_{1},\ldots ,S_{e}}$

を、変数のある順序と実閉体 に対するの正則連鎖とします。および を、に関して自由および代数的であるの変数をそれぞれ表すものとします。を有限とし、 の各多項式がの飽和イデアルに関して正則であるとします。 を定義します。を の変数のみを含むの量指定子のない式とします。次の 3 つの条件が満たされるとき、 は正則半代数系であると言えます。${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathbf {k} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$${\displaystyle \mathbf {x} =x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$${\displaystyle \mathbf {u} =u_{1},\ldots ,u_{d}}$${\displaystyle \mathbf {y} =y_{1},\ldots ,y_{nd}}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle T}$${\displaystyle P\subset \mathbf {k} [\mathbf {x} ]}$${\displaystyle P}$${\displaystyle T}$${\displaystyle P_{>}:=\{p>0\mid p\in P\}}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle \mathbf {k} [\mathbf {x} ]}$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle R:=[{\mathcal {Q}},T,P_{>}]}$

• ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$は、の空でない開半代数集合を定義する。${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbf {k} ^{d}}$
• 通常のシステムは、あらゆる点で特化しており、${\displaystyle [T,P]}$${\displaystyle u}$${\displaystyle S}$
• の各点において、特殊化されたシステムは少なくとも 1 つの実数零点を持ちます。${\displaystyle u}$${\displaystyle S}$${\displaystyle [T(u),P(u)_{>}]}$

の零点集合は、とすべてのに対して、が真であり であるような点の集合として定義されます。アフィン空間 では が次元を持つことに注目してください。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle Z_{\mathbf {k} }(R)}$${\displaystyle (u,y)\in \mathbf {k} ^{d}\times \mathbf {k} ^{nd}}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}(u)}$${\displaystyle t(u,y)=0,p(u,y)>0}$${\displaystyle t\in T}$${\displaystyle p\in P}$${\displaystyle Z_{\mathbf {k} }(R)}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \mathbf {k} ^{n}}$

• 実代数幾何学