範囲の累積

金融において、レンジ・アクルアルは、ストラクチャード・ノートの投資家の間で非常に人気のあるデリバティブ商品の一種です。2004年から2007年の間に、金利のみに連動するレンジ・アクルアルが1600億ドル以上投資家に販売されたと推定されています。 ^{[1]これは、最も人気のある}非バニラ金融デリバティブの1つです。本質的に、レンジ・アクルアルの投資家は、参照「インデックス」（通常は金利または為替レート）が事前に定義された範囲内にとどまることに「賭け」ているのです。

範囲発生のペイオフの一般的な表現は次のとおりです。

${\displaystyle P\times \sum _{i=1}^{N}1_{{\text{index}}(i)\in {\text{範囲}}}\times {\frac {1}{N}}}$

• 指数( i )はi番目の観測日における指数の値である。
• Nは期間内の観測値の総数である
• Pはインデックスが範囲内にある場合の配当です

観測頻度が毎日の場合、ペイオフは次のように簡単に表すことができます。

${\displaystyle P\times {\frac {n}{N}}}$

どこ

• nは、指定されたインデックスが指定された範囲内にある日数です。
• Nは観察期間の総日数である
• Pは、指数が範囲内にある特定の日の支払い額である。

インデックスは、金利 (例: USD 3 か月 Libor)、FX レート (例: EUR/USD)、商品 (例: 原油価格)、またはその他の観測可能な金融インデックスです。
観測期間は日次 (例: 週次、月次など) と異なる場合がありますが、最もよく見られるのは日次観測です。

レンジ累積クーポンの受取人はバイナリー オプションを販売しています。これらのオプションの価値は、支払われるクーポンを増やすために使用されます。

範囲が [1.00%; 6.00%] に設定され、条件付きクーポンが 5.00% である、USD 3 か月 Libor にリンクされた 5 年間の範囲発生型債券の例を見てみましょう。債券が 2009 年 1 月 1 日に開始され、最初のクーポン支払いが 2009 年 7 月 1 日に発生すると仮定します。

この債券を 1 億ドル購入す​​る投資家は、次のキャッシュフローを得ます。

• 最初のクーポン— 2009年1月1日から7月1日までの間、300万米ドルのLibor固定金利が

130 日間で 1.00% と 6.00% の場合、最初の学期に適用される利率は次のようになります。

5.00% × 130/181 = 3.5912% (2009年1月1日から2009年7月1日までの合計は181日です)。

2009 年 7 月 1 日に支払われるクーポンは、1 億米ドル × 3.5912% × 0.5 = 1,795,600 ドルとなります(2009 年 1 月 1 日から 2009 年 7 月 1 日までの日数分率を 0.5 と仮定)。

• 第 2 クーポン- 2009 年 7 月 1 日から 2010 年 1 月 1 日まで、300 万米ドルの Libor が 155 日間 1.00% から 6.00% の間で固定される場合、第 2 四半期に適用される利率は次のようになります。

5.00% × 155/184 = 4.2120% です。

2010 年 1 月 1 日に支払われるクーポンは、1 億米ドル × 4.2120% × 0.5 = 210 万 6,000 ドルとなります(2009 年 7 月 1 日から 2010 年 1 月 1 日までの日数分数を 0.5 と想定)。

• 次の 8 つのクーポンにも同じ方法論が適用されます。投資家が得る最高利率は 5.00%、最低利率は 0.00% です。

インデックスが範囲内にある各日の支払い（表記法ではP）は、固定レートまたは変動レートのいずれかになります。

レンジ発生は、確定日と支払日の間の遅延が減少するバイナリ オプションのストリップとして考えることができます。このため、評価モデルが、少なくともレンジによって暗示される行使価格で、原資産のボラティリティ期間構造に合わせて適切に調整されていることが重要です。

さらに、レンジ発生額がコール可能である場合、評価モデルではスワップションと原資産 間の動向も考慮する必要があります。

一定範囲内の金利の永続性を監視し、関連する金利に永続性係数を乗じた金額を支払うアキュラルスワップも、異なる隣接するフォワードレート間の相関関係に依存します。詳細については、たとえば Brigo と Mercurio (2001) を参照してください。

• Damiano Brigo、Fabio Mercurio (2001)。『金利モデル - 理論と実践』、Smile、Inflation and Credit (第2版、2006年)。Springer Verlag。ISBN 978-3-540-22149-4。