ライコフの定理

ライコフの定理は、ロシアの数学者ドミトリー・アブラモビッチ・ライコフにちなんで名付けられた確率論の結果である。2つの独立した ランダム変数ξ ₁と ξ ₂のそれぞれがポアソン分布に従う場合、それらの和 ξ=ξ ₁ +ξ ₂もポアソン分布に従うことはよく知られている。その逆もまた成り立つことが分かっている。^{[1] [2] [3]}

ランダム変数 ξ がポアソン分布を持ち、2 つの独立したランダム変数の和 ξ=ξ ₁ +ξ ₂として分解できるとします。この場合、各加数の分布はシフトされたポアソン分布になります。

ライコフの定理はクラメールの分解定理に似ています。クラメールの分解定理は、2つの独立したランダム変数の和が正規分布に従う場合、各加数も正規分布に従うというものです。正規分布とポアソン分布の畳み込みが同様の特性を持つことは、 Yu.V.Linnikによっても証明されました（Linnikの定理 [ru]）。

を局所コンパクトアーベル群とします 。上の確率分布の畳み込み半群を、に集中する退化分布を と表します。 とします。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle M^{1}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle E_{x}}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x_{0}\in X,\lambda >0}$

測度によって生成されるポアソン分布は、次の形式のシフト分布として定義される。 ${\displaystyle \lambda E_{x_{0}}}$

${\displaystyle \mu =e(\lambda E_{x_{0}})=e^{-\lambda }(E_{0}+\lambda E_{x_{0}}+\lambda ^{2}E_{ 2x_{0}}/2!+\ldots +\lambda ^{n}E_{nx_{0}}/n!+\ldots ).}$

一つは次のようなものである

を測度 によって生成されるポアソン分布とします。、であると仮定します。 が無限次数要素であるか、次数 2 を持つ場合、もポアソン分布です。が有限次数要素である 場合、はポアソン分布ではない可能性があります。 ${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \lambda E_{x_{0}}}$${\displaystyle \mu =\mu _{1}*\mu _{2}}$${\displaystyle \mu _{j}\in M^{1}(X)}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \mu_{j}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle n\neq 2}$${\displaystyle \mu_{j}}$