ラドン・リース特性

ラドン・リース性質は、ノルム空間の数学的性質であり、ノルムの収束を保証するのに役立ちます。2 つの仮定 (基本的には弱収束とノルムの連続性) を前提として、ノルム位相の収束を保証したいと考えています。

( X , ||·||) がノルム空間であるとします。が空間内のシーケンスであり、 がXの元であってが弱収束し、がノルムでに収束する場合、 X はラドン–リース性質を持つ（またはX はラドン–リース空間である）といいます。つまり、 です。 ${\displaystyle (x_{n})}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Vert x_{n}\Vert =\Vert x\Vert }$${\displaystyle (x_{n})}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Vert x_{n}-x\Vert =0}$

1913 年にヨハン・ラドンが最初にこの性質を顕著に利用した 1 人であったように思われるが、 MI カデッツと VL クレーも 1920 年代後半にバナッハ空間理論を発展させるためにラドン-リース性質のバージョンを利用した。ラドン-リース性質は、カデッツ-クレー性質または性質 (H)とも呼ばれることが多い。ロバート・メギンソンによると、文字 H は何の意味も持たない。これは単に、(A) で始まり (H) で終わるノルム空間の性質のリストの中で性質 (H) と呼ばれていた。このリストは K. ファンと I. グリックスバーグによって与えられた (ファンとグリックスバーグによる (H) の定義にはノルムの丸みも含まれているため、ラドン-リース性質自体とは一致しないことに注意)。名前の「リース」の部分は、フリジェシュ・リースを指す。彼は 1920 年代にもこの土地を多少利用しました。

「カデッツ-クレー特性」という名前は、ノルム空間の単位球面における弱位相とノルム位相の一致について話すときに時々使用されることを知っておくことが重要です。

1. 実ヒルベルト空間はすべてラドン・リース空間である。実際、Hが実ヒルベルト空間であり、Hの元に弱収束するH内の列であると仮定する。列に関する2つの仮定と、 ${\displaystyle (x_{n})}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \langle x_{n}-x,x_{n}-x\rangle =\langle x_{n},x_{n}\rangle -\langle x_{n},x\rangle -\langle x, x_{n}\rangle +\langle x,x\rangle ,}$

そしてnを無限大に近づけていくと、

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\langle x_{n}-x,x_{n}-x\rangle }=0.}$

したがってHはラドン・リース空間である。

2. すべての一様凸バナッハ空間はラドン・リース空間です。Haim Brezisの「関数解析」のセクション 3.7 を参照してください。

• ヨハン・ラドン
• フリジェス・リース
• ヒルベルト空間またはバナッハ空間理論
• 弱いトポロジー
• 正規空間
• 機能分析
• シュールの財産

• メギンソン、ロバート E. (1998)、バナッハ空間理論入門、ニューヨークベルリンハイデルベルク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 0-387-98431-3