量子畳み込み符号

量子ブロックコードは、量子コンピューティングや量子通信で役立ちます。大規模ブロックコードのエンコード回路は通常、複雑度が高くなりますが、最新のコードのエンコード回路はそれほど複雑ではありません。

量子畳み込み符号化理論は、量子情報の符号化に異なるパラダイムを提供します。畳み込み構造は、送信者が受信者に送信する量子ビットのストリームを所有する量子通信シナリオに役立ちます。量子畳み込み符号の符号化回路は、大きなブロック符号に必要な符号化回路よりもはるかに複雑ではありません。また、同じ物理デバイスまたは同じルーチンで量子情報ストリームを操作できるように、反復パターンも備えています。

量子畳み込み安定化符号は、従来の符号の構造をかなり借用しています。量子畳み込み符号は、一部の量子ビットが繰り返し符号化ユニタリにフィードバックされ、従来の畳み込み符号のようなメモリ構造をコードに与える点で類似しています。量子符号は、量子ビットのオンライン符号化および復号化を特徴としています。この機能により、量子畳み込み符号は、同様のパラメータを持つブロック符号よりも符号化および復号化の複雑さが低く、より大きなエラー セットを訂正できます。

量子畳み込み安定化コードは、0以上の整数でインデックス付けされた 2次元量子ビットヒルベルト空間の可算無限テンソル積 であるヒルベルト空間 に作用する。 ${\displaystyle {\mathcal {H}},}$ ${\displaystyle \left\{{\mathcal {H}}_{i}\right\}_{i\in \mathbb {Z} ^{+}}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\displaystyle \bigotimes \limits _{i=0}^{\infty }}\ {\mathcal {H}}_{i}.}$

パウリ行列の列 、ここで ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \left\{A_{i}\right\}_{i\in \mathbb {Z} ^{+}}}$

${\displaystyle \mathbf {A} ={\displaystyle \bigotimes \limits _{i=0}^{\infty }}\ A_{i},}$

は の状態に作用することができます。をすべてのパウリ列の集合とします。パウリ列のサポート supp は、単位元に等しくない内のエントリのインデックスの集合です。列の重みはそのサポートのサイズです。列の遅延 del は、単位元に等しくないエントリの最小のインデックスです。列の次数 deg は、単位元に等しくないエントリの最大インデックスです。たとえば、次のパウリ列 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \Pi ^{\mathbb {Z} ^{+}}}$${\displaystyle \left(\mathbf {A} \right)}$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \left\vert {\text{supp}}\left(\mathbf {A} \right)\right\vert }$${\displaystyle \left(\mathbf {A} \right)}$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \left(\mathbf {A} \right)}$${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle {\begin{array}{cccccccc}I&X&I&Y&Z&I&I&\cdots \end{array}},}$

はサポート、重み 3、遅延 1、次数 4 を持ちます。重みが有限である場合、シーケンスは有限サポートを持ちます。 有限サポートを持つパウリ シーケンスの集合を と表します。量子畳み込みコードに対する次の定義では、その説明に と ​​いう集合を使用しています。${\displaystyle \left\{1,3,4\right\}}$${\displaystyle F(\Pi ^{\mathbb {Z} ^{+}})}$${\displaystyle F(\Pi ^{\mathbb {Z} ^{+}})}$

を持つレート畳み込み安定化コードは、基本ジェネレータセットのすべての量子ビットシフトの可換セットです。基本ジェネレータセットには、有限サポートのパウリシーケンスがあります 。 ${\displaystyle k/n}$${\displaystyle 0\leq k\leq n}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}}$${\displaystyle nk}$

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}=\left\{\mathbf {G} _{i}\in F(\Pi ^{\mathbb {Z} ^{+}}):1\ leq i\leq nk\right\}.}$

コードの拘束長は、 内の生成器の最大次数です。コードのフレームは量子ビットで構成されます。 ${\displaystyle \nu}$${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}}$${\displaystyle n}$

量子畳み込み符号は、遅延変換または -変換によって同等の定義が可能です。-変換は、基本ジェネレータセットのシフトをキャプチャします。任意のパウリシーケンスに作用する-量子ビット遅延演算子を次のように定義します。 ${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \mathbf {A} \in \Pi ^{\mathbb {Z} ^{+}}}$

${\displaystyle D\left(\mathbf {A} \right)=I^{\otimes n}\otimes \mathbf {A.} }$

の繰り返し適用はの累乗として表すことができます。 ${\displaystyle j}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$

${\displaystyle D^{j}\left(\mathbf {A} \right)=I^{\otimes jn}\otimes \mathbf {A.} }$

をの要素の によるシフトの集合とします。畳み込み安定化符号の 完全安定化符号は${\displaystyle D^{j}\left({\mathcal {G}}_{0}\right)}$${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

${\displaystyle {\mathcal {G}}={\textstyle \bigcup \limits _{j\in \mathbb {Z} ^{+}}}D^{j}\left({\mathcal {G}}_{0}\right).}$

畳み込み安定化コードの動作は次のとおりです。プロトコルは、送信者が (Grassl and Roetteler 2006) に示されているようなオンライン エンコーディング回路を使用して量子ビットのストリームをエンコードすることから始まります。エンコーディング回路は、一度に数ブロックの量子ビットを処理する場合、オンラインです。送信者は、最初のユニタリが処理を終えるとすぐに量子ビットのセットを送信します。受信者は、オンラインでエンコードされた量子ビットを受信すると、すべてのジェネレータを測定し、エラーを修正します。最後に、エンコードされた量子ビットをデコード回路でデコードします。この畳み込み手順からデコードされた量子ビットは、受信側でエラーがなく、量子計算の準備が整っている必要があります。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

有限深度回路は、有限の重みを持つパウリ数列を有限の重みを持つパウリ数列にマッピングします (Ollivier と Tillich 2004)。有限の重みを持つパウリ数列を無限の重みを持つパウリ数列にマッピングすることはありません。この特性は、デコード回路が未訂正のエラーを情報量子ビット ストリームに伝播させないようにするために重要です (Johannesson と Zigangirov 1999)。スタビライザー に対応する有限深度デコード回路は、(Grassl と Roetteler 2006) で示されているアルゴリズムによって存在します。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Forney らは、特定の古典的な 4 値畳み込みコードをインポートすることで、レート 1/3 量子畳み込みコードの例を示しました (Forney と Guha 2005)。Grassl と Roetteler は、Forney らのレート 1/3 量子畳み込みコード用の非壊滅的なエンコード回路を決定しました (Grassl と Roetteler 2006)。基本的なスタビライザーとその最初のシフトは次のとおりです。

${\displaystyle \cdots {\begin{array}{|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|}I&I&I&X&X&X&X&Z&Y&I&I&I&I&I&I\\I&I&I&Z&Z&Z&Z&Y&X&I&I&I&I&I&I\\I&I&I&I&I&I&X&X&X&X&Z&Y&I&I&I\\I&I&I&I&I&I&Z&Z&Z&Z&Y&X&I&I&I\\\end{array}}\cdots }$

このコードは、上記のジェネレーターの 3 量子ビット シフトすべてで構成されています。縦棒は、基本的なジェネレーターの 3 量子ビット シフトを視覚的に表すためのものです。このコードは、1 フレームおきに任意の 1 量子ビット エラーを修正できます。

Wilde と Brun は、一連の論文 (Wilde and Brun 2007a、2007b、2008、2009) でエンタングルメント支援型安定化コードと量子畳み込みコードの理論を統合し、エンタングルメント支援型量子畳み込み符号化の理論を形成しました。この理論では、送信者と受信者がノイズのない二部エンタングルメントを共有し、量子情報ストリームを保護するために利用できると想定しています。

(Wilde 2009) は、(Ollivier and Tillich 2004) と (Grassl and Roetteler 2006) の研究を基に、これらのコードを量子シフトレジスタ回路でエンコードする方法も示しました。これは、古典的なシフトレジスタ回路の理論の自然な拡張です。

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