二次積分JJapedia 編集部|更新日: 不明 数学において、二次積分は次のような形式の 積分である。 ∫ d x 1つの + b x + c x 2 。 {\displaystyle \int {\frac {dx}{a+bx+cx^{2}}}.} 分母の平方完成によって評価できます。 ∫ d x 1つの + b x + c x 2 = 1 c ∫ d x （ x + b 2 c ） 2 + （ 1つの c − b 2 4 c 2 ） 。 {\displaystyle \int {\frac {dx}{a+bx+cx^{2}}}={\frac {1}{c}}\int {\frac {dx}{\left(x+{\frac {b}{2c}}\right)^{\!2}+\left({\frac {a}{c}}-{\frac {b^{2}}{4c^{2}}}\right)}}.} 正判別ケース 判別式 q = b 2 − 4 acが正であると仮定する。その場合、uとAを 次の ように 定義する。 あなた = x + b 2 c 、 {\displaystyle u=x+{\frac {b}{2c}},} − あ 2 = 1つの c − b 2 4 c 2 = 1 4 c 2 （ 4 1つの c − b 2 ） 。 {\displaystyle -A^{2}={\frac {a}{c}}-{\frac {b^{2}}{4c^{2}}}={\frac {1}{4c^{2}}}(4ac-b^{2}).} 二次積分は次のように書ける。 ∫ d x 1つの + b x + c x 2 = 1 c ∫ d あなた あなた 2 − あ 2 = 1 c ∫ d あなた （ あなた + あ ） （ あなた − あ ） 。 {\displaystyle \int {\frac {dx}{a+bx+cx^{2}}}={\frac {1}{c}}\int {\frac {du}{u^{2}-A^{2}}}={\frac {1}{c}}\int {\frac {du}{(u+A)(uA)}}.} 部分分数分解により 積分を評価できます。 1 （ あなた + あ ） （ あなた − あ ） = 1 2 あ （ 1 あなた − あ − 1 あなた + あ ） {\displaystyle {\frac {1}{(u+A)(uA)}}={\frac {1}{2A}}\!\left({\frac {1}{uA}}-{\frac {1}{u+A}}\right)} 1 c ∫ d あなた （ あなた + あ ） （ あなた − あ ） = 1 2 あ c 行 （ あなた − あ あなた + あ ） + 絶え間ない 。 {\displaystyle {\frac {1}{c}}\int {\frac {du}{(u+A)(uA)}}={\frac {1}{2Ac}}\ln \left({\frac {uA}{u+A}}\right)+{\text{定数}}.} q > 0 という仮定のもとでの元の積分の最終結果は、 ∫ d x 1つの + b x + c x 2 = 1 q 行 （ 2 c x + b − q 2 c x + b + q ） + 絶え間ない 。 {\displaystyle \int {\frac {dx}{a+bx+cx^{2}}}={\frac {1}{\sqrt {q}}}\ln \left({\frac {2cx+b-{\sqrt {q}}}{2cx+b+{\sqrt {q}}}}\right)+{\text{定数}}.} 否定判別ケース 判別式 q = b 2 − 4 acが負の場合、分母の2番目の項 は正になります。その場合、積分は次のようになります。 ∫ d x 1つの + b x + c x 2 = 1 c ∫ d x （ x + b 2 c ） 2 + （ 1つの c − b 2 4 c 2 ） 。 {\displaystyle \int {\frac {dx}{a+bx+cx^{2}}}={\frac {1}{c}}\int {\frac {dx}{\left(x+{\frac {b}{2c}}\right)^{\!2}+\left({\frac {a}{c}}-{\frac {b^{2}}{4c^{2}}}\right)}}.} 1 c ∫ d あなた あなた 2 + あ 2 = 1 c あ ∫ d あなた / あ （ あなた / あ ） 2 + 1 = 1 c あ ∫ d わ わ 2 + 1 = 1 c あ アークタンジェント （ わ ） + c o ん s t 1つの ん t = 1 c あ アークタンジェント （ あなた あ ） + 絶え間ない = 1 c 1つの c − b 2 4 c 2 アークタンジェント （ x + b 2 c 1つの c − b 2 4 c 2 ） + 絶え間ない = 2 4 1つの c − b 2 アークタンジェント （ 2 c x + b 4 1つの c − b 2 ） + 絶え間ない 。 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{c}}\int {\frac {du}{u^{2}+A^{2}}}&={\frac {1}{cA}}\int {\frac {du/A}{(u/A)^{2}+1}}\\[9pt]&={\frac {1}{cA}}\int {\frac {dw}{w^{2}+1}}\\[9pt]&={\frac {1}{cA}}\arctan(w)+\mathrm {constant} \\[9pt]&={\frac {1}{cA}}\arctan \left({\frac {u}{A}}\right)+{\text{constant}}\\[9pt]&={\frac {1}{c{\sqrt {{\frac {a}{c}}-{\frac {b^{2}}{4c^{2}}}}}}}\arctan \left({\frac {x+{\frac {b}{2c}}}{\sqrt {{\frac {a}{c}}-{\frac {b^{2}}{4c^{2}}}}}}\right)+{\text{constant}}\\[9pt]&={\frac {2}{\sqrt {4ac-b^{2}\,}}}\arctan \left({\frac {2cx+b}{\sqrt {4ac-b^{2}}}}\right)+{\text{constant}}.\end{aligned}}} 参考文献 Weisstein、Eric W.「二次積分」。MathWorldより- Wolfram Web リソース。以下が参照されています。 Gradshteyn, イズライル・ソロモノヴィッチ;ヨシフ・モシェヴィッチ・リジク;ジェロニムス、ユーリ・ヴェニアミノヴィッチ;ツェイトリン、ミハイル・ユリエヴィッチ;ジェフリー、アラン (2015) [2014 年 10 月]。ツウィリンガー、ダニエル。モル、ヴィクトル・ユゴー編（編）。インテグラル、シリーズ、および製品の表。 Scripta Technica, Inc. による翻訳 (第 8 版)。Academic Press, Inc. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN 2014010276.
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{c}}\int {\frac {du}{u^{2}+A^{2}}}&={\frac {1}{cA}}\int {\frac {du/A}{(u/A)^{2}+1}}\\[9pt]&={\frac {1}{cA}}\int {\frac {dw}{w^{2}+1}}\\[9pt]&={\frac {1}{cA}}\arctan(w)+\mathrm {constant} \\[9pt]&={\frac {1}{cA}}\arctan \left({\frac {u}{A}}\right)+{\text{constant}}\\[9pt]&={\frac {1}{c{\sqrt {{\frac {a}{c}}-{\frac {b^{2}}{4c^{2}}}}}}}\arctan \left({\frac {x+{\frac {b}{2c}}}{\sqrt {{\frac {a}{c}}-{\frac {b^{2}}{4c^{2}}}}}}\right)+{\text{定数}}\\[9pt]&={\frac {2}{\sqrt {4ac-b^{2}\,}}}\arctan \left({\frac {2cx+b}{\sqrt {4ac-b^{2}}}}\right)+{\text{定数}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0715d439a69d30944bda613d3112a8b890555207)
