Qテンソル

物理学において、テンソルは一軸および二軸ネマティック液晶を記述し、等方性液体相では消失する配向秩序パラメータである。^[1] テンソルは2次のトレースレス対称テンソルであり、 ^{[2] [3] [4]}によって定義される。${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$

${\displaystyle \mathbf {Q} =S\left(\mathbf {n} \mathbf {n} -{\frac {1}{3}}\mathbf {I} \right)+P\left(\mathbf { m} \mathbf {m} -{\frac {1}{3}}\mathbf {I} \right)}$

ここで、およびはスカラー秩序パラメータ、はネマティック相の2つのディレクター、は温度です。一軸性液晶では、テンソルの成分は ${\displaystyle S=S(T)}$${\displaystyle P=P(T)}$${\displaystyle (\mathbf {n} ,\mathbf {m} )}$${\displaystyle T}$${\displaystyle P=0}$

${\displaystyle Q_{ij}=S\left(n_{i}n_{j}-{\frac {1}{3}}\delta _{ij}\right)+P\left(m_{i}m_{j}-{\frac {1}{3}}\delta _{ij}\right)}$

ディレクターと を持つ状態は物理的に同等であり、同様にディレクターと を持つ状態も物理的に同等です。 ${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle -\mathbf {n} }$${\displaystyle \mathbf {m} }$${\displaystyle -\mathbf {m} }$

テンソルは常に対角化できる。 ${\displaystyle \mathbf {Q} }$

${\displaystyle \mathbf {Q} =-{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}S+P&0&0\\0&S-P&0\\0&0&-2S\\\end{pmatrix}}}$

以下はテンソル の不変量である${\displaystyle \mathbf {Q} }$

${\displaystyle \mathrm {tr} \,\mathbf {Q} ^{2}=Q_{ij}Q_{ji}={\frac {1}{2}}(3S^{2}+P^{2 }),\quad \mathrm {tr} \,\mathbf {Q} ^{3}=Q_{ij}Q_{jk}Q_{ki}={\frac {3}{4}}S(S^{2}-P^{2});}$

一次不変量はここでは自明である。液晶の二軸性の尺度は、一般的にパラメータ ${\displaystyle \mathrm {tr} \,\mathbf {Q} =Q_{ii}=0}$${\displaystyle (\mathrm {tr} \,\mathbf {Q} ^{2})^{3}\geq 6(\mathrm {tr} \,\mathbf {Q} ^{3})^{2} 。}$

${\displaystyle \beta =1-6{\frac {(\mathrm {tr} \,\mathbf {Q} ^{3})^{2}}{(\mathrm {tr} \,\mathbf {Q} ^{2})^{3}}}=1-{\frac {27S^{2}(S^{2}-P^{2})^{3}}{(3S^{2}+P^{2})^{3}}}。}$

一軸性ネマティック液晶では、テンソルは次のように減少する。 ${\displaystyle P=0}$${\displaystyle \mathbf {Q} }$

${\displaystyle \mathbf {Q} =S\left(\mathbf {n} \mathbf {n} -{\frac {1}{3}}\mathbf {I} \right).}$

スカラー秩序パラメータは次のように定義される。ネマティック分子の軸と配向子軸の間の角度を表す場合、^[2]${\displaystyle \theta _{\mathrm {mol} }}$${\displaystyle \mathbf {n} }$

${\displaystyle S=\langle P_{2}(\cos \theta _{\mathrm {mol} })\rangle ={\frac {1}{2}}\langle 3\cos ^{2}\theta _ {\mathrm {mol} }-1\rangle ={\frac {1}{2}}\int (3\cos ^{2}\theta _{\mathrm {mol} }-1)f(\theta _{\mathrm {mol} })d\Omega }$

ここで、 は分布関数 に関して計算された配向角のアンサンブル平均を表し、は立体角です。ディレクターと は物理的に等価であるため、分布関数は必ず条件を満たしている必要があります。 ${\displaystyle \langle \cdot \rangle }$${\displaystyle f(\theta _{\mathrm {mol} })}$${\displaystyle d\Omega =\sin \theta _{\mathrm {mol} }d\theta _{\mathrm {mol} }d\phi _{\mathrm {mol} }}$${\displaystyle f(\theta _{\mathrm {mol} }+\pi )=f(\theta _{\mathrm {mol} })}$${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle -\mathbf {n} }$

の範囲は で与えられ、 はすべての分子がディレクターに沿って完全に整列していることを表し、はすべての分子がディレクターに対して完全にランダムに整列していること（等方性）を表します。は、すべての分子がディレクターの軸に対して垂直に整列していることを示しますが、このようなネマチックはまれであるか、合成が困難です。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle -1/2\leq S\leq 1}$${\displaystyle S=1}$${\displaystyle S=0}$${\displaystyle S=-1/2}$

• ランダウ・ド・ジェンヌ理論