比例推論

比例関係に基づく推論は、ピアジェの認知発達理論で「形式的操作的推論」と呼ばれるものの 1 つの形式であり、知的発達の後期段階で獲得されます。教師が比例推論を正しく適用するよう生徒を指導できる方法があります。

数学と物理学において、比例とは 2 つの量の間の数学的関係であり、2 つの比率の等式として表現できます。

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$

機能的には、比例性は数式内の変数間の関係である可能性があります。たとえば、重力に関する次の方程式があるとします(ニュートンによる)。

${\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}}$

2 つの質量間の重力は、2 つの質量の積に正比例し、2 つの質量間の距離の 2 乗に反比例します。

ピアジェの知的発達モデルでは、4 番目で最後の段階は形式的操作段階です。ジャン・ピアジェとバーベル・インヘルダーによる古典的な書籍「幼少期から青年期までの論理的思考の成長」では、形式的操作的推論は、命題推論、演繹論理、変数の分離と制御、組み合わせ推論、比例推論など、さまざまな形式をとっています。1960 年代と 1970 年代の科学教育者ロバート・カープラスは、青年と成人のこれらすべての推論形式を調査しました。背の高い人と背の低い人は、彼の研究の 1 つでした。

反比例についても同様の推論パターンが存在します。

直角三角形の中に色のついた液体の入った容器があるとします。三角形を傾けると、左側と右側の水位が内蔵のスケールで測定できます。これは「水の三角形」と呼ばれます。

水の三角形は、左側に 4 単位、右側に 6 単位の測定値が表示されるまで回転します。
三角形がさらに傾いて、右側の水位が 8 単位になったとします。左側の水位が何単位になるかを予測します。

典型的なソリューション

三角形の面積について知識のある人なら、「三角形を形成する水の面積は、最初は12である。1/2⁠ × 4 × 6 = 12。水の量は変わらないので、面積は変わりません。したがって答えは3です。⁠1/2× 3 × 8 = 12です。

正しい掛け算の答えは比較的まれです。これまでのところ、最も一般的な答えは次のようなものです。「右側の水位が 2 単位上昇したため、左側の水位は 2 単位減少するはずで、4 - 2 = 2 なので、2 単位です。」あまり一般的ではありませんが、2 単位となる理由は次のとおりです。「以前は 4 + 6 = 10 なので、合計は 10 単位でした。単位の合計数は同じままであるはずなので、答えは 2 + 8 = 10 なので 2 です。」

再び、正式な操作レベルに達していない人が、反比例を解くのに乗法戦略ではなく加法戦略を適用することがあります。そして、正比例と同様に、この誤った戦略は、その人にとって論理的であり、妥当な答えを出すように見えます。実際に実験を行い、三角形を傾けて、答えが自信を持って予測した 2 ではなく 3 であることに気付いたとき、生徒たちは非常に驚きます。

T を Mr. Tall の身長、S を Mr. Short の身長とすると、正しい乗法戦略は T/S = 3/2 と表すことができます。これは定数比の関係です。間違った加法戦略は T – S = 2 と表すことができます。これは定数差の関係です。これら 2 つの方程式のグラフを以下に示します。問題文に含まれる数値については、これらのグラフは「類似」しており、なぜ個人が誤った回答を完全に妥当であると考えるかは容易に理解できます。

ここで、「水の三角形」を使用して反比例について考えてみましょう。L を左側の水の高さ、R を右側の水の高さとすると、正しい乗法戦略は L × R = 24 と表すことができます。これは、定数積の関係です。間違った加法戦略は、L + R = 10 と表すことができます。これは、定数和の関係です。以下は、これら 2 つの方程式のグラフです。問題文に含まれる数値の場合、これらのグラフは「類似」しており、なぜ個人が間違った答えを完全に妥当であると考えるのかは簡単にわかります。

経験豊富な教師なら誰でも証言するでしょう^{[引用が必要]}が、生徒に答えが間違っていると伝え、正しい解決法を使うように指示するだけでは十分ではありません。間違った戦略は「脳内で消去」されたわけではなく、現在のレッスンが完了した後に再び現れるでしょう。

また、上記の加法戦略は、他の現実世界の状況に正しく適合するため、単純に「不正確」と分類することはできません。たとえば、次の問題を考えてみましょう。

今年の独立記念日に、トール氏は 6 歳、ショート氏は 4 歳でした。将来の独立記念日に、ショート氏は 6 歳です。その独立記念日に、トール氏は何歳になるでしょうか。

同様に、定数和関係はいくつかの状況では正しい場合があります。次の問題を考えてみましょう。

川の左側には 4 匹のビーバーがいて、右側には 6 匹のビーバーがいます。その後、同じビーバーの群れが川の右側に 8 匹いるとします。左側には何匹のビーバーがいるでしょうか。

したがって、加法関係 (一定の差と一定の合計) が正しい状況もあれば、乗法関係 (一定の比と一定の積) が正しい状況もあります。

生徒が自分自身で、現在の推論方法、たとえば加法的な推論方法が、解決しようとしている乗法的な問題には不適切であることを認識することが非常に重要です。ロバート・カープラスは、新しい推論スキルの習得を促進する学習サイクルと呼ばれる学習モデルを開発しました。

1. 最初の段階は、最小限の指導で生徒が自分の行動と反応を通して学ぶ探索段階です。学習環境は、生徒の注意を関連する問題に集中させるように注意深く設計する必要があります。学習者は、既存の戦略が観察された結果と一致しないことに気付いた場合、認知的不協和を経験する可能性があります。これにより、現在の考えや推論パターンでは答えられない質問が生じる可能性があります。
2. 第 2 段階では、概念が紹介され、説明されます。ここでは、教師がより積極的になり、説明によって学習が達成されます。
3. 最後に、第 3 段階では、概念が新しい状況に適用され、その適用範囲が拡大されます。学習は反復と実践によって達成され、新しいアイデアや考え方が安定する時間があります。

実践的なアクティビティは、学習サイクルにおいて非常に役立ちます。ペーパークリップでトール氏の身長を予測した後、測定ツールを導入して、生徒に戦略をテストさせることができます。一定差の関係を使用する生徒の場合、実際の測定によりトール氏は実際にはペーパークリップ 9 個分の高さであることが示され、認知的不協和が生じます。

逆の関係についても同じことが言えます。これは、2 人の生徒が「水の三角形」に取り組んでいる写真です。上記の問題を考えると、ほとんどの生徒は、水の三角形を傾けると左側の水位が 2 単位まで下がると予測します。実験を実行して答えが 3 単位であることに気付くと、認知的不協和が生じます。これは、教師がレッスンを学習サイクルの第 2 段階に移行させるのに最適なタイミングです。

生徒が学んだ乗法戦略を過度に適用しないことが重要です。したがって、実践的なアクティビティの一部は乗法関係に基づいていない可能性があります。次の写真は、定数和関係が正しい装置で作業している 2 人の生徒です。

綿密に設計された実践的なアクティビティを学生に提供することは、必ずしも可能または実行可能というわけではありません。また、年齢の高い対象者は、実践的な実験の使用に必ずしも良い反応を示すわけではありません。しかし、思考実験を通じて認知的不協和を導入することは多くの場合可能です。

上記のすべての実験には、固定された関係に基づいて値が変化する 2 つの変数があります。背の高い男性と背の低い男性の問題に似た次の問題を考えてみましょう。

これは父と娘の写真です。この写真では、娘の身長は 4 cm、父親の身長は 6 cm です。写真を拡大することにしたので、大きな写真では娘の身長は 6 cm です。大きな写真では父親の身長はどれくらいでしょうか。

加法関係を用いる個体の非常に一般的な答えは 8 cm です。なぜなら、父親は常に娘より 2 cm 背が高いからです。それでは、この生徒に次の質問をしてください。

元の絵の非常に小さいバージョンを作成し、この小さな絵では父親の身長が 2 cm であるとします。この小さな絵では娘の身長はどれくらいになるでしょうか。

生徒はすぐに、「父親は常に娘より 2 cm 背が高い」という戦略が正しくないことに気づきます。これは、元の絵をポスター サイズに拡大し、娘の身長を 100 cm にするという極端な例を検討することでも達成できます。このポスターでは父親の身長はどのくらいになるでしょうか。102 cm と答える生徒は、父親と娘の身長がほぼ同じであることに気づきますが、これは正しくありません。認知的不協和が生じたら、教師は正しい関係、つまり一定の比率を紹介できます。

生徒に、「娘の身長が拡大して 2 倍になったら、父親の身長はどうなるだろうか」といった独自の思考実験を行うように勧めることもできます。まだ具体的な操作段階にある生徒も含め、ほとんどの生徒は、父親の身長も 2 倍になるはずだとすぐに答えるでしょう。抽象的な思考実験は、「変数の 1 つの値が 2 倍になったとすると、もう 1 つの変数はどのように変化するだろうか」というものです。答えが「2 倍」であれば、これは定数比の問題である可能性があります。しかし、答えが 2 倍でない場合、たとえば上記の背の高い男性と背の低い男性の年齢の問題のように、定数比の問題ではありません。

「水の三角形」などの逆の関係の場合、制限ケースによって認知的不協和が生じることもあります。例:

左側の水位が 4 単位、右側の水位が 6 単位の初期条件が与えられた場合、右側の水位が 10 単位になるまで三角形を傾けた場合、左側の水位がどうなるかを予測します。

この時点で、生徒は0が正解ではないことに気づき、加法戦略を放棄します。逆の関係について思考実験を行うことができます。1つの変数の値が2倍になった場合、もう1つの変数はどうなるでしょうか？答えが⁠1/2⁠すると、これは一定の積の関係（つまり、反比例）である可能性があります。

変数の値をプロットすることは、2 つの変数が正比例しているかどうかを識別するための便利なツールにもなります。正比例している場合、値は直線上にあり、その直線は原点と交差するはずです。

上で述べた 4 つの関数関係、定数和、定数差、定数積、定数比は、生徒が最もよく知っている 4 つの算術演算、つまり加算、減算、乗算、除算に基づいています。現実世界のほとんどの関係は、これらのカテゴリのいずれにも当てはまりません。ただし、生徒が思考実験やグラフ作成などの簡単なテクニックを習得すれば、これらのテクニックをより複雑な状況に適用できるようになります。

もう一度、ニュートンの重力の式を考えてみましょう。

${\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}}$

生徒が変数間の機能的関係を理解し​​ていれば、次の思考実験に答えることができるはずです。

次の場合、重力の力はどうなるでしょうか。

• 質量の 1 つが 2 倍になりますか?
• 一方の質量は 2 倍になり、もう一方の質量は半分になりますか?
• 両方の質量が2倍になりましたか?
• 両方の質量が半分になりますか?
• 群衆間の距離は2倍になったのか？
• 大衆間の距離が半分になる？

一般的に、思考実験は実験結果によって確認されなければなりません。物体の質量とそれが地球に落下する速度に関する思考実験を行うよう求められた場合、多くの子供や大人は、質量が 2 倍になると物体は 2 倍の速度で落下するだろうと言うかもしれません。しかし、実験結果はこの「論理的な」思考実験を裏付けるものではないため、理論的な結果が実験データと一致することが常に重要です。